X²+1素数

2014-07-15 05:07阅读：

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X²+1素数问题是与哥德巴赫猜想和孪生素数猜想同时代的著名数学难题。是否有无穷个正整数x，使得x²+1总是素数？其困难程度不亚于哥德巴赫猜想。特别是100多年以来，许许多多一流数论学者对这个问题进行了研究。

X²+1素数

X²+1素数是一个著名的猜想，人们很早就发现了许多正整数的平方加1以后是素数，例如：
1²+1=2，素数；2²+1=5，素数；4²+1=17，素数；
6²+1=37，素数；10²+1=101，素数；14²+1=197，素数；
16²+1=257，素数； 20²+1=401，是素数；24²+1=577，是素数；
....。
这种类型素数有多少？是否有无穷个？这就是X²+1素数猜想。这个问题其实已经有几百年了，仍然没有得到解决。

这个问题为什么著名

1900年，在法国巴黎召开了第二届国际数学家大会，全能的数学大师希尔伯特发表了{未来的数学问题}这个著名的讲演，在第25自然段谈到这个问题，问是否有无穷个x²+1素数（参见希尔伯特23个问题），而且还与费马数有关（参见下面其它相关书籍）

这个问题为什么这么困难

与哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一样，这个问题的解决依靠普遍的素数公式的解决。没有一个可以表示所有素数的普遍公式，问题是不能获得解决（参见素数判定法则

）。

X²+1素数的公式

“若自然数n不能被不大于 $\sqrt{n}$ 任何素数整除，则n是一个素数”。代数学辞典上海教育出版社 1985年 259页。参见素数。
如果设n=X²+1。则可以用公式表达：
$X=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=...=p_{k}m_{k}+a_{k}$ .(1)
　其中 $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$ 表示顺序素数2，3，5，....。 $a_{i}$ ≠ $\sqrt{P_{i}-1}$ 。即X≠ $\sqrt{P^{2}_{k}-1}$ 形。
若 $X<P_{k+1}$ ,则X²+1是一个素数。
我们可以把（1）式内容等价转换成为同余式组表示：
$x \equiv a_1 \pmod{p_1}, x \equiv a_2 \pmod{p_2}, \dots, x \equiv a_k \pmod{p_k} (2)$
　由于（2）的模 $p_{1}$ , $p_{2}$ ,..., $p_{k}$ 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的 $a$ 值，（2）式在 $p_{1}$ $p_{2}$ ... $p_{k}$ 范围内有唯一解。　

例题

　 k=1时， $X=2m_{1}$ ，解得X=2。2<3= $P_{2}$ .得知2²+1=5是素数。求得了（3，3²）区间的全部X²+1型素数。
　k=2时， $X=2m_{1}=3m_{2}+1$ ，解得X=4；4<5= $P_{3}$ ；4²+1=17是素数.
$X=2m_{1}=3m_{2}+2$ ，解得X=8；8≮5= $P_{3}$ ，所以8不是我们要的数；
$X=2m_{1}=3m_{2}$ ，解得X=6；6≮5= $P_{3}$ ，所以6不是我们要的数；
求得了（5，5²）区间的全部素数X²+1型素数（仅有一个17）。
k=3时,
$X=2m_{1}=3m_{2}+0=5m_{3}+1$ 。解得X=6,6<7= $P_{4}$ 。6²+1=37，是素数。
求得了（7,7²）区间的全部X²+1型素数。 k=4时，
$X=2m_{1}=3m_{2}+1=5m_{3}+0=7m_{4}+3$ 。解得X=10,10<11= $P_{5}$ 。10²+1是素数。
求得了（11，11²）区间的全部素数。
仿此下去可以求得任意大的数以内的全部X²+1素数。并且一个不漏地求得。
为什么我们不能用 $X=5m_{3}+2$ 和 $X=5m_{3}+3$ ？对于模为5时， $5m_{3}+3=5m_{3}-2$ 。因为 $a_{i}$ ≠ $\sqrt{P_{i}-1}$ 。即±2= $\sqrt{5-1}$ 。因为,如果X=5m±2，X²+1=（5m±2）²+1=25m²±10m+5=5（5m²±2m+1）是一个复合数。
同样，我们不能用 $17m_{7}+4=17m_{7}+13$ ； $37m_{12}+6=37m_{12}+31$ ；...。
因为有定理（参见《基础数论》92页，U杜德利著，上海教育出版社）：假定P为奇素数，若P不能够整除a，
则X²≡a（modP），恰有两解或者无解。

有理域知识

有理域通常称为伽罗华域，只有素数和它们的幂才有有限域。 A²=A×A.(例如A有5个元素的域;0,1,2,3,4),因为减2总是可以用加3代替，反之亦然。对于除法也是一样，因为2的乘法逆元素是3，即2×3=1，所以除以2的除法总是可以用乘以3的乘法表示。

其它书籍相关内容

《数论导引》18页（人民邮电出版社）：是否存在无穷多个x²+1素数，更一般地，如果a，b，c是没有公约数的整数，a是正数，a+b和c不全是偶数，并且b²-4ac不是完全平方数，那么，就有无穷多个形如：ax²+bx+c的素数存在。
《10000个科学难题》数学卷102页，（科学出版社2009年5月第一版）：是否有无穷个正整数x，使得x²+1总是素数？这个问题比孪生素数猜想更加困难，这是因为在正整数中，形如x²+1的数必p+2稀少，所以x²+1为素数的概率更小。
《数论中未解决问题》75页（【加】R.K盖伊著，张明尧译）形如x²+1素数是很少的，但是，如果只有有限个，那么，就可以推出有无限多个费马数是复合数。

X²+1合数与佩尔方程

由于问题的困难，人们开始关注X²+1合数，企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。发现许许多多X²+1合数有平方因子例如：18²+1=325=5²×13；32²+1=2025=5²×41；38²+1=1445=5×17²；68²+1=4625=5³×37；70²+1=4901=13²×29；....。这是一个佩尔方程形式：
$x^2 - ny^2= \pm 1$
38²-5×17²=-1；68²-29×13²=-1。

参见

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