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世界潜藏的数学---分形几何与斐波那契数列

2014-12-10 14:28阅读：

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世界潜藏的数学---分形几何与斐波那契数列
2014.12.9觉醒字幕组


数学本质上解放了人类的思维，它阐述着我们世界的一切都是神圣的创造，正因为数学客观直白而不会说谎，我们可以从其窥探世界真实的面貌，是探索自然万物的有力道具。近代人类对自然属性的更进一的了解来自于数学崭新的领域--分形几何。

一 分型的起源与认识：

2.1
分形是美籍法国应用数学家蒙德布罗特所提出的，分形几何作为一门新兴的交义学科，正在被越来越多的人所认识和学习。据美国科学家情报所调查，八十年代，全世界有1257种重要学术刊物所发表的论文中，有37.5%与分形有关。美国著名的物理学家Wheeler说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。
br> 众所周知传统欧式几何探讨的对象是规则的形体，而真实的世界却并不规则。云彩不是球体，山峦不是锥体，海岸线也不是弧线，树皮并不是光滑的，闪电亦不是沿直线传播。自然界的许多事物是如此不规则和支离破碎，以致欧氏几何不能真实的描述大自然。而分形几何的创立，就是用来描述那些欧式几何无法描述的几何现象和事物的，被誉为“大自然本身的几何学”，使自然景物的描绘得以实现，这也是分形几何得到高度重视的原因之一。
简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学。
是大自然复杂表面下的内在数学秩序。

分形在计算机图形领域的突破
分形作为一种数学工具，现已应用于各个领域，如应用于计算机辅助使用的各种分析软件中。
2.2
《星际旅行2：可汗怒吼》Genesis 星球截图
在当今的世界中，分形几何最明确的应用也许是在计算机图形中。设计师和制作人员制作并不存在的逼真的“分形假想”景观。使用分形几何的早期计算机图像可在《星际旅行2：可汗怒吼》(Star Trek II: The Wrath of Khan) 中的 Genesis 星球系列中看到。这些广袤的景观和其它分形技术也用在最近电影特效中，塑造了接近现实的景象效果，让传统手工绘画难以企及的现实境界变得轻松和简单.......
分形几何的维数认识
维数是几何对象的一个重要特征量。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。但这些都是整数的维数。而分形理论认为：维数也可以是分数。
科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在1.6—1.7附近，这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢？ 为此有必要了解下数学中的“黄金比例”概念......

二 无所不在的黄金分割
黄金分割是我们在初中学习平面几何的时候就接触到的知识。把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618（反过来则是1.618）通常用希腊字母Ф表示这个值。
如下图所示：

2.3

设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b，则a比b就是黄金比例。0.618和1.618这两个数就是自然界普遍存在的“黄金分割”数。
黄金分割在西方文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为'金法'，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为'各种算法中最可宝贵的算法'。这种算法在印度称之为'三率法'或'三数法则'，而黄金比例的起源可以追溯到数学代数领域中的斐波那契数列中.......
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，其特点为数列中每一项为前两项之和。在1175年-1250年生活意大利数学家是西方第一个系统研究此数列的人，故该数列叫做斐波那契数列。
更为重要的是这个数列广泛存在于自然界中，如树枝上的分枝数，大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数，诸如如百合为3，梅花5，桔梗常为8，金盞花13…等等，玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列......

2.4

斐波那契数列也出現在松果上。如上图右，一片片的鳞片在整粒松果上顺著两组螺旋线排列：一组呈顺时针螺旋，另一组为逆时针螺旋，顺时针螺旋的排列数目是８，而逆时针螺旋方向则为13。
向日葵也是一样（图3左），常见的螺旋线数目为34及55，较大的向日葵的螺旋线数目为89及144，更大的甚至还有144及233......
這些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。那么斐波那契数列相邻两项的数值正好是之前提及的黄金比例。
除了植物世界外，在动物世界甚至我们人体本身中，黄金分割更是不断地出现。从外观上看大多出现在动物的形体中。
如下图所示，人四肢后肢与前肢的比，身高与肚脐到腿之间距离的比，甚至手指每一节骨头与后面一节骨头的比，都接近黄金数1.618。芭蕾舞演员颠起脚尖跳舞，就是为了让身体的比例更接近黄金分割。而小说中提到的达·芬奇作品《维特鲁维人》就是他严格按照人体的黄金分割比例绘制成的。

2.5

黄金分割在自然界和人体中如此广泛地存在，因此成为人类潜意识中的审美标准，成为了人类艺术的宠儿。绘画和照片中如果把主要景物放在黄金分割位置，将给人一种最美的视觉感受。
从古至今许多神秘建筑有遵循着黄金分割的规律，包括金字塔的斜面三角形高与底面半边长之比，雅典神庙和巴黎圣母院的外观，甚至像东方明珠一样许许多多电视塔的观光层位置，都利用黄金分割比给人美观。
2.7
目前的研究发现，不仅仅是生物界，人工计算机领域，在自然界很多领域都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，海浪漩涡等等，包括宏观的太阳系间行星距离，微观世界的DNA双螺旋结构都是黄金螺旋分形。

细心的读者也许会发现，黄金分割有一种几何上的自相似性，部分与部分的比等于部分与整体的比，等于整体与更大整体的比……
20世纪70年代，数学家曼德勃罗（BenoitMandelbrot）提出了“分形”的概念，用来描述自相似性，并首先引入了“分数维”的概念。 从上面几个例子的分析可以看出，“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果。
从上面的有关叙述我们可以总结出分形大多以黄金分割为原则这一自然界的重要现象。
基于上面的描述我们可以得到如下关系式：“分形几何--大自然---黄金比例--斐波那契书列”。

三 进一步分型几何与黄金数列的关系：

分形几何是研究复杂性科学的一个起始点，经历了在传统自然学科上的蓬勃的发展。由于“自相似”特征的涉猎范围早已超出几何学科的范畴，所以至今却没有一个和明确的定义。
与此巧合的是。斐波那契数列自发现至今的历代研究者不断在自然界事物上发现并刷新，虽然隶属于代数层面却与几何上的分形同样具备对事物的普适性。
在此我们把两者结合起来分析思考，两者之间的关系如下：
分型和黄金分割的基础共性：
1隶属于自然内在的次序。
2在代数角度上都由非常简单的迭代（重复）塑造，从而在几何上具有自相似性结构特征：
3在几何层面上观察自相似性有越小越精致的现象：并展示出无穷尽的特质。
4两者其涵盖面甚为广泛，无论在宏观还是微观上层面乃至各个领域都有其踪影，以至推出具有无处不在的特征，

两者的区别：分型是从几何层面作出发点发现诠释自然特征的新型交叉学科，其几何思想理念已经延伸到数论、动力系统、混沌学，物理、复变函数的迭代等方面的应用。而研究黄金数列（斐波那契数列）多在股票市场、动物繁殖、排列组合上的应用，是从代数层面上解决分析问题。
小结：
现如今几何分形与斐波那契数列都处在一个新兴的阶段，国内外大多数的研究都只是停留在两个独立的概念上，并分别研究各自的性质和应用。
二者都可以解决一些传统数学所不能解决的问题，所不同的是分形几何是通过几何的角度来解决，而斐波那契数列则是通过代数的角度来解决实际问题。
文章通过两者对比得出：黄金分割实际上是一种特殊的分型自相似结构，而分型又把黄金分割的作为极值的倾向，两者都有可以认定为同一种大自然的数学，只是不同角度的理解，
为此我们有必要把两者当做一体来进行深入分析，这不仅呼应了序篇物质世界是数字全息的观点，更为下文古代东西方大师的思想理念交融作了铺垫.....

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