阿贝尔和伽罗华五次方程没有根式解的证明被颠覆
五次方程有没有根式解的问题是如此重要，事实上它是代数学早期的最基本研究内容之一。世界上无数杰出的数学家为之奋斗了数百年，直至阿贝尔和伽罗华的出现，方使尘埃落定两百年。
拉格朗日和伽罗华等人为解决这个问题，还特别发明了群论这一无比强大的数学工具。群论的出现意味着代数学从古典时代进入近世时代，它是从实用数学进入抽象数学的转折点。在现科学体系中，群论渗透到数学和物理学的广泛领域。就连上世纪末怀尔斯的费马大定理证明，在最后阶段也有赖于群论提供的方法。
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阿贝尔和伽罗华五次方程没有根式解的证明被颠覆
五次方程有没有根式解的问题是如此重要，事实上它是代数学早期的最基本研究内容之一。世界上无数杰出的数学家为之奋斗了数百年，直至阿贝尔和伽罗华的出现，方使尘埃落定两百年。
拉格朗日和伽罗华等人为解决这个问题，还特别发明了群论这一无比强大的数学工具。群论的出现意味着代数学从古典时代进入近世时代，它是从实用数学进入抽象数学的转折点。在现科学体系中，群论渗透到数学和物理学的广泛领域。就连上世纪末怀尔斯的费马大定理证明，在最后阶段也有赖于群论提供的方法。
因此谁能想到，两百年后这件数学公案会沉封再揭。阿贝尔和伽罗华关于五次方程没有根式解的证明居然是错误的！在这里要提起的是，世界上就有一小群不信邪的人，通过他们的勇气和智慧，颠覆了数学史的一段公案，开创出一片新天地。
2019年7月和2020年1月，梅晓春连续发表了两篇文章，证明当今世界最著名的数学难题--黎曼猜想不成立。在研究黎曼猜想问题的过程中，梅晓春在网上检索了大量的文献。无意中发现，上海财经大学应用数学系教授汤健儿，2012年1月在《高等数学研究》上发表一篇文章，证明有五类特殊的五次方程存在根式解。梅晓春做了认真核算，认为是准确无误的。
梅晓春还发现，北京学者郑良飞（石泉）2009年出版了一本名为《一元五次方程破解》的书。在此书中，郑良飞先生用他发明的特殊方法，解出大量的数字系数五次方程。山西省大同市同煤二中的范军和太原师范学院数学系的孔志宏，2009年在《在高等数学研究》上发表文章，证明某些特殊形式的六次方程存在根式解。而安徽阜阳师范学院数学系的盛兴平，提出一种构造方程解的方法，给范军、孔志宏和汤健儿等人提供了启示。
事实上，尽管有阿贝尔和伽罗华的理论在前，数学家们们从来没有停止对高次方程求解的探索。比如Bruce C. Berndt等人上世纪九十年代在英国伯明翰大学做访问学者期间，在伯明翰大学图书馆的文献盒中发现该校教授George Neville Watson（1886-1965）的一个的笔记本。内容是Watson教授1948年在剑桥大学一个演讲，提出解某些五次方程解的方法。他们将Watson 的方法摘录下来发表在网上，由于Watson的文章没有正式发表，是否正确仍有待审核与评论。
1991年美国数学家D. S. Dummit在《计算数学》杂志上发表文章，将某些五次方程转换成六次方程，然后再求出解。他还同时证明这类方程的解不违背伽罗华的可解群定理，但这个证明实际上是多余的和错误的。梅晓春在网上还可以找到一些的类似工作，但都没有正式发表。根据梅晓春的看法，汤健儿给出的几个解最为简单明确，具有一般意义，是不容置疑的。
用阿贝尔和伽罗华理论，显然无法解释汤健儿等人得到的高次方程根式解。另一方面，众所周知，代数学上有一条著名的定理，即代数学基本定理。该定理指出任何一元n次方程都有n个解，其中就必然包含根式解。代数学基本定理是非常基本的，据说至今已经有一百多种证明方法，可以说是不容置疑的。德国著名数学家高斯本人就给出三种证明，以至于这条定理又被称为高斯代数学基本定理。显然，阿贝尔和伽罗华的论断与代数学基本定理是矛盾的，也与实际情况完全不符。
事实上，按照现代数学的看法，已知的数可以分为有理数，无理数，复数和超越数（如圆周率）。阿贝尔和伽罗华讨论的是所谓的Q上不可约的方程，即方程的解不是有理数。而无理数和一般复数的绝对值都可以用根号来表示的，超越数则不可能是代数方程的解。如果五次方程一定有解，但它的解不能用根式来表示，还能用什么来表示呢？这就使问题就变得不可思议了。因此梅晓春认为，阿贝尔和伽罗华的证明可能有错，需要进行重新审查。
为此，梅晓春决定研究这个问题，花了一年时间，阅读了大量的文献，包括阿贝尔和伽罗华的原始论文。结果发现所有的文献和教科书对这个问题的证明都存在概念含糊，逻辑混乱，和语焉不详的问题。
阿贝尔的证明实际上是一个逻辑循环，他把需要证明的东西当作证明的前提，一个有14项的展开式被漏掉7项。他还把方程的变量和自变量混为一谈，其中有些错误是相当初级的。阿贝尔的错误长期没有被发现，一个主要的原因是他1824年的论文太简略。阿贝尔是自费印刷他的论文，为了省钱就尽量简单，以至于人们不懂他到底在说什么。在两年后的1826年，阿贝尔对他的论文做了补充说明。但很少人读过他的这份补充，无法对他的论文做出正确的判断。
梅晓春也是看了P. Pesic 写的一本名为《阿贝尔的证明》的书的末尾附录部分，才看到阿贝尔1826年的补充证明的。恰恰就是在这短短的两页中，梅晓春明白阿贝尔的原意，发现阿贝尔证明的错误的关键所在。而在此前读过几本专著和十几篇文章，对阿贝尔的证明仍然是云里雾里，不知所云。
伽罗华的理论与其说是证明，不如说是假说。伽罗华根据S(5)置换群没有真正规子群，断言五次方程没有根式解，但这两个问题实际上没有必然的逻辑关联。为了证明自同构扩域群对三、四次方程的有效性，伽罗华理论实际上用方程的根的某些代数关系来代替方程的根本身。这违背自同构算符的原始定义，不但概念混肴，而且引入任意性。
梅晓春还指出，对于一般的三次和四次代数方程，实际的求解过程不满足伽罗华可解群的塔式结构。其预解式关系也不存在伽罗华可解群的对称性，用可解群理论来判断高次方程是否有根式解是无效的。为了使证明能够达到一致性，就不得不编造出某些中间过程。但这些中间过程实际上不存在，导致伽罗华扩域理论无效。n次代数方程的根与系数之间只存在S(n)置换对称性，不存在伽罗华的可解群对称性，因此伽罗华也没有证明五次方程没有根式解。
对于伽罗华的理论，在国内网络上也常有人心存疑虑。比如有个名叫伟岗飞镖的人，写了好几篇介绍群论的科普文章。在一篇名为“伽罗华群----数学家避而不谈的秘密”的文章中，他对用群论证明五次方程没有根式解的问题做了比较详细的阐述，同时坦言没有读懂伽罗华理论，理解不了埋藏在伽罗华定理与根式扩域形式后面的逻辑关系。
知乎上有个自称中科大数学系毕业，看样子仍然在从事数学工作的人，则承认从大学时代开始至今始终没有读懂伽罗华证明，尽管老师和自己都尽了力。他们没有想到的是，问题出在伽罗华理论，不在他们自身。
相比之下，阿贝尔的证明只涉及到古典代数方程理论，还更容易理解一点。但必须去读梅晓春先生的文章，否则仍然会一头雾水，莫名其妙。五次方程是否有根式解的问题是如此的基本，相信大多数数学爱好者和所有以数学为职业的人，都有兴趣了解这个问题的进展。
总之，梅晓春论文的结论是，阿贝尔和伽罗华并没有证明一般的五次方程没有根式解。数学家需要摆脱阿贝尔和伽罗华理论的约束，继续寻找高次代数方程的一般解。面对这个如此重要的基本数学问题，一个至今仍然没有被攻克的高峰，有志者应当继续前进，努力攀登。
梅晓春论文《对一般五次方程没有根式解问题的重新认识》链接如下：
中文版：https://www.doc88.com/p-90459436166617.html
英文版：https://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=102824