互相关与卷积

2014-05-08 20:42阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/3208067604

互相关

设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为：

它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

线性卷积

在泛函分析中，是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是'移动平均'的推广。

理解卷积的物理含义也许有点难，但是理解其计算却是相对容易，东南大学的数字信号课程里做了一个线性卷积的动画演示：http://zlgc.seu.edu.cn/jpkc2/ipkc/signal/new/course/one/flash/juanji_swf.htm
因此，我们很容易理解，卷积和相关是相似的，两者就是多了一个旋转过程而已，卷积要先对Y轴旋转！
用卷积来表示相关就是：

通常来说，计算卷积都是在频域进行的，这主要是利用了FFT变换的卷积定理

快速傅里叶转换（FFT）计算卷积,在时域（time domain）做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶转换在频域（frequency domain）做相乘。
因此，matlabz中计算相关和卷积都是在频域计算的，再转回时域，这可以简单用代码来验证一下：

Matlab计算互相关函数xcorr，计算卷积函数conv；

C = xcorr(x,y,'option')，如果x，y长度不同，matlab会自动给短向量后面补零，最终长度length=2*max(n,m)-1;
'biased'为有偏的互相关函数估计；
'unbiased'为无偏的互相关函数估计；
'coeff'为0延时的正规化序列的自相关计算；
'none'为原始的互相关计算，也是默认模式；
Z= conv(x,y,'shape')，两向量长度不需要一致，最后卷积长度length=n+m-1;
'full'为默认模式，返回全部卷积(n+m-1);
'same',返回中间部分卷积，长度与x相同(n);
'valid',返回中间没有用零填充部分的卷积值，用滑动窗的方法解释的话，就是第2个窗口能够完全被第一个窗口重合、包含的部分(max(n-max(0,m-1),0),因此如果n<m的话，返回值就不存在)。

% 卷积法计算互相关的验证程序
dt=0.1;
t=[0:dt:100];
x=5*sin(4*t);
y=3*cos(3*t);
[a,b]=xcorr(x,y);
plot(b*dt,a);
yy=3*cos(3*fliplr(t)); % 以Y为轴对称翻转 yy=fliplr(y);
c=conv(x,yy);
err = a-c;
subplot(3,1,1);
plot(b*dt,a,'k');
title('Corr','fontsize',16);xlabel('Logs','fontsize',12);
subplot(3,1,2);
plot(b*dt,c,'r');
title('Conv','fontsize',16);xlabel('Logs','fontsize',12);
subplot(3,1,3);
plot(b*dt,err,'g');
title('Error','fontsize',16);xlabel('Logs','fontsize',12);
% 这里误差小于1e-13，本人认为是由matlab的数值误差所引起，可以忽略。

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