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排列组合问题之分配插板法

2013-05-08 15:41阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/3213238052

在历年公务员考试中，排列组合问题是广大考生最为头痛的问题之一，又几乎是每年的必考的重点题型。排列组合问题题型变化多样，解题方法也逐渐多样化，经典题型也很多。不过对于经典题型我们几乎都有对应的解决方法，所以大家只要逐一掌握各种经典题型以及其对应的解法并熟练应用，那么拿分也不是问题。
下面就介绍一种专门用于分配相同物品给一些主体的解题方法——分配插板法。
首先看一个例题来了解一下分配插板法模型的原型：
例：把9个相同的苹果分给3个人，每个人至少1个，那么不同的分法共有多少种？
A．84 B.20 C.54 D.28
答案：D
解析：9个苹果排成一排，行成
8个空，中间插上2个挡板，就可以把9个苹果分成3份，并且每份至少1个。在8个空中插上2个挡板： 排列组合问题之分配插板法


所以如果把n样相同的物品，分给m个人，每人至少一个，则有 排列组合问题之分配插板法种分法。
变形一：
例:把7个相同的苹果分给4个人，共有多少种分法？
Ａ．110 B．120 C．130 D．140
答案：B
解析： 排列组合问题之分配插板法本题与我们的模型中不同的是，题目并没有要求每人至少1个，为了利用我们的模型解题我们需要把题目构造成每人至少1个的情景，于是我们可以向每人先借1个苹果。于是题目就被转化为有11个苹果要分给4个人，每人至少1个，根据模型，答案为 排列组合问题之分配插板法
变形二：
把20个苹果分给3个人，每人至少6个，有多少种分法？
A．4 B．6 C．8 D．10
答案：B
解析： 排列组合问题之分配插板法本题与我们的模型不同的是要求每人6个，为了利用我们的模型，需要将题目构造成每人至少1个的情景。所以可先给每人发5个，还剩5个苹果。于是变成现在有5个苹果，分给3个人，每人至少1个，根据模型，答案为： 排列组合问题之分配插板法。
变形三：
例：有30个苹果，分给3个人，要求第一个人至少分7个，第二个人至少分8个，第三个人至少分9个，那么有多少种分法？
A．24 B．28 C．32 D．40
答案：B
解析： 排列组合问题之分配插板法。本题和模型不同的是，每个人的要求不一样。为了利用模型解题，需要构造模型的情况，所以可以先给第一个人6个人，第二个人7个，第三个人8个。于是题目被转化为现在有9个苹果，要分给3个人，每人至少1个。根据模型，结果为 排列组合问题之分配插板法。
以上就是分配插板法的模型以及变形。遇到分配法的题目就可以构造模型的原型，最后利用公式解题即可。
李老师提醒：原模型中，需要注意：
（1）所分的物品必须是相同的。
（2）每人至少1个。只要把题目构造成这样的情况就可以根据模型直接得答案。

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