完全平方公式的妙用(王颖妮)
2013-12-29 19:34阅读：
（二）完全平方公式的妙用
：
课题负责人 王颖妮
在学习整式乘法和分解因式时，学生常常混淆平方差公式和完全平方公式，在作业练习中会经常出现﹙a＋b﹚2
=
a2＋b2
、 ﹙a－b﹚2=
a2－b2。反复强调，有些学生总是写错，原因是根本没弄懂公式的推导过程，没有抓住公式的特征。
在初中数学教学中，完全平方公式被广泛应用。不仅要求学生掌握它的特点，会顺用和逆用，而且要重视公式的变形技巧，灵活运用公式解决问题。
一、完全平方公式和完全平方式
1、分解因式中的完全平方公式
a2＋2ab＋b2=﹙a＋b﹚2
a2－2ab+b2=﹙a－b﹚2
公式特点：等号左边是两个数（整式）平方和，加上（或减去）这两个数（整式）积的2倍.，等号右边是这两个数（整式）的和（或差）的平方。
2、整式乘法中的完全平方公式
﹙a＋b﹚2=
a2＋2ab＋b2
、 ﹙a－b﹚2=
a2－2ab+b2
公式特点：等号左边是两个数（整式）的和（或差）的平方，等号右边是这两个数（整式）平方和，加上（或减去）这两个数（整式）积的2倍.。
3、完全平方式
形如 a2＋2ab＋b2
,
a2－2ab＋b2的式子叫完全平方式。
二、利用完全平方公式分解因式
1、直接利用完全平方公式分解因式
例如：25x
2－20xy＋4y
2＝﹙5x﹚2－2·5x·2y＋﹙2y﹚2＝﹙5x－2y﹚2
解析：此类题目，可以直接把多项式改为完全平方式的形式，再套用公式进行分解。
2、先提公因式再利用完全平方公式分解因式
例如：3ab
2＋6ab＋3a＝3a﹙b2＋2b＋1﹚＝3a﹙b＋1﹚2
3、先提负号，再分解因式
例如：－x
2－4y
2＋4xy＝－﹙x
2－4xy＋4y
2﹚＝－﹙x－2y﹚2
三、利用完全平方公式求值
1、配方思想
例如：（1）已知 x
2＋y
2－2x－4y＋5＝0
求x
、 y的值。
解析：等号的右边为0，给等号的左边二次项x
2，一次项－2x，配上1就构成完全平方式；给二次项y
2，一次项－4y，配上4也构成完全平方式。而常数5刚好可分成1和4，于是得到两个完全平方式的和等于0，从而可求出x
和y的值。
解：x
2＋y2－2x－4y＋5＝0
﹙x
2－2x＋1﹚＋﹙y
2－4y＋4﹚＝0
﹙x－1﹚2＋﹙y－2﹚2＝0
即x－1＝0
y－2＝0
解得，x＝1
y＝2
﹙2﹚当x为何值时，多项式
x
2＋2x＋3有最小值，最小值是多少？
解析：通过观察，给x
2＋2x配上1就构成完全平方式。可以加上1，再减去1
。（.或者从3中分出1）
解：x
2＋2x＋3＝﹙x
2＋2x＋1﹚－1＋3＝﹙x＋1﹚2＋2
因为：﹙x＋1﹚2≥0
﹙x＋1﹚2＋2≥2
所以，当x＋1=0，x=－1时，x
2＋2x＋3有最小值，最小值是2。
2、完全平方公式的变形技巧
a
2＋b
2＝﹙a＋b﹚2－2ab＝﹙a－b﹚2＋2ab
﹙a＋b﹚2＝﹙a－b﹚2＋4ab
﹙a－b﹚2＝﹙a＋b﹚2－4ab
例如:
已知﹙a＋b﹚2＝16,
ab＝2
求：（1）﹙a－b﹚2
(2)
3﹙a
2＋b 2﹚
解：（1）﹙a－b﹚2＝﹙a＋b﹚2－4ab＝16－4×2＝8
（2）3﹙a
2＋b
2﹚＝3[﹙a＋b﹚2－2ab]＝3×﹙16－2×2﹚＝36
四、利用完全平方公式判断三角形的形状
已知a、b、c是△ABC的三边，且满足
a
2＋b
2＋c
2＝ab+bc+ac
，试判断△ABC的形状。
分析：本题给出了三角形三边之间的关系，移项后，给两边同乘以2，可构成三个完全平方式，此时利用完全平方公式，得到﹙a－b﹚2＋﹙a－c﹚2＋﹙b－c﹚2＝0即可判断三角形的形状。
解：由题意可得：a
2＋b
2＋c
2—ab—bc＝0
-两边同乘以2，得
2 a
2＋2b
2＋2c
2－2ab－2bc－2ac＝0
﹙a
2－2ab＋b
2﹚＋﹙a
2－2ac＋c
2﹚＋﹙b
2－2bc＋c
2﹚＝0
﹙a－b﹚2＋﹙a－c﹚2＋﹙b－c﹚2＝0
所以a－b＝0,
a－c＝0
b－c＝0
即a＝b＝c
所以△ABC为等边三角形
以上是自己在教学中的一些积累，希望对学生更好的掌握完全平方公式有所帮助。
