人教版三年级下数学广角 《等量代换》观课感
2013-04-21 11:39阅读：
人教版三年级下数学广角 《等量代换》观感
（黑龙江★通途）
教学目标主要有如下三点：1．使学生会借助直观图，感悟等量代换，发展数感和守恒性。2．使学生在解决实际问题的过程中体验集合和等量代换的数学思想。3.使学生学会以中间量为中介，实现等量代换。
一、等量代换和皮亚杰的“守恒性”从思维角度看，等量代换与瑞士心理学家皮亚杰提出的“运演的守恒性”密切相关。守恒的含义是指物体从一种形态转变为另一种形态时，它的物质含量保持不变的认识。皮亚杰设计的守恒问题包括数量守恒、体积守恒、长度守恒和重量守恒等等。
我以体积守恒来简单说明。我们给儿童呈现甲乙两个一样的杯子，将两个杯子装同样高度的水，让儿童明白甲乙两杯子中的水一样多。然后将乙杯水倒入另外一个形状不
同的丙杯中，此时装水的杯子的外形变了，但水体积没变。问儿童：甲丙两杯水体积是否一样多？学生若能将前后倒水过程联系起来看，回答说一样多，说明此时儿童达到了体积守恒水平。此时水的体积的外形变了，但前后水的体积是等量，我们用丙杯水的体积这个等量，替换了乙杯水的体积。等量代换的基本含义是：一个量可用另一个与它相等的量替换。在一个量用另一个与它相等的量替换中，另一个量所表示的物质和形式可能要发生变化，但物质含的量没变。等量代换是以守恒性为基础的。如，上面杯子问题，装水的杯子的外形变了，但水的体积保持不变，产生用不同的方式表示相等的量的效果。这正属于皮亚杰的“守恒性”内容。再如，我们今天的教学视频。教师开始展示了天平，天平左边1个西瓜，右边3个砝码。学生说：一个西瓜等于3个砝码，教师问：为什么？学生回答：因为此时天平是平衡的。对智力强的三年级学生，回答该问题会很轻松，但对低于三年级的学生或学困生，就不那么容易了。对此我们将学生微观瞬间的思维放大。该思考可分解为两个过程：第一，将一个西瓜切开三块，这里西瓜外形变了，但西瓜这个物质没变，物质含量也没变，学生有了守恒思维这个基础，立即回答：一个西瓜等于三块西瓜瓣。而后我们将三块西瓜瓣和三个砝码放天平两边，学生发现天平两边的物质变了，但天平是平衡的，物质含量没变，学生有了守恒思维的基础，会回答三块西瓜瓣等于三个砝码，最后我们将三块西瓜瓣用手回原成一个西瓜，守恒性思维会使学生会得出：一个西瓜等于三个砝码。整个思维过程是以守恒性为基础的。皮亚杰认为，8岁左右儿童，思维已经有了守恒性。
二、我们教材将等量代换放三年级学习，我的理解，这是守恒性提高层面的学习。这里的等量有两层含义，第一，物质相同，物质的形式变化，但物质含量没变；第二，物质完全发生改变,但物质的含量没变。教学中，突出守恒的本质，会更有利于启发学生思考。我们观察本课教学，教师始终是以守恒这个本质为起点，接着解答简单的等量代换问题，而后变式练习促进学生等量代换形成自动化的技能。从而实现技能层面的教学目标。我再以原教材中的第一个问题来分析该问题。班级加参加语文课外小组的8人，参加数学课外小组的9人，两组都参加的3人。参加课外学习小组的共多少人？这是有关集合论的容斥原理问题。该问题第一个难点是两个相交集合之间的逻辑关系，第二个难点是对集合的逆向思考运算。解答该问题即要经历从形象思维到历逻辑思维的过程，也要经历守恒的过程。我们可通过一个一个解决来分散难点，先主要解决逻辑思维难点，后解决守恒思考这个难点。我用简单符号表示人，在活动中分析该问题。设参加语文组的人为A、B、C、D、E，F、G、H，画出集合图：
用符号表示人，学生是否能理解？小学教材我不熟，三年级学生可能不理解，我这里不是实际教学，而是借助符号语言和大家探讨其中的道理。参加语文组的8人中有3人参加了数学组，即F、G、H也属于数学组集合。引导学生接着填上第二个集合图：
这里将F、G、H圈到另一个集合里，体现了减法思考，是逆向思维。数学组共9人，此时还缺6人，则填上另外的6人： 共9人，还缺6人，填上另外的6人，这是减法，属于逆向思维。通过经历问题生成过程，正向和逆向思考的活动过程，能使学生对问题与有深刻体验，并在过程中获得认识；由简单直观图到复杂直观图来逐步呈现问题条件，能将错综复杂的逻辑关系分解，使关系条理化，使问题学生大脑中形成清晰的逻辑关系。这为下一步运算提供支撑性知识。而后教师可问学生：参加学习小组的共多少人？学生讨论后，或数出14，或计算出5＋3＋6=14。教师可问学生：参加语文小组的8人，参加数学小组的9人，8＋9=17，这样计算参加学习小组的人数对吗？学生讨论得出：F、G、H算了两次，应去掉一次：8＋9－3=14。这属于逆向思考。到此，学生获得了解答容斥原理问题的初步经验。从思维角度看，这里是在用不同的方式表示14，换句话说，用8＋9－3去代换14，或是在用8＋9－3去代换5＋3＋6，即等量代换。学生思考该问题经历了三个过程，第一，正向思考：8＋9.第二，逆向思考：加多了则要减掉，8＋9－3。
三、等量代换的几个典型意义
1.等量代换与数学运算从认知策略角度看，等量代换是将一个量转化为另一个量的解题策略。比如，一道关于量的运算题，学生面对它，要将它化简，化简就是用简单的式子替代原来的式子。学生运算过程就是将同一个量表达形式不断变换，最后达到化简形式的过程，中途的形式为中间量，最后达到的最简形式就是我们所说的运算结果。
2. 等量代换与列算术式子解题简单的一次等量代换数感和技能形成后，看到数学应用问题信息，大脑会自动化进行等量代换，列出式子解题。但面对复杂问应用解题，列算术式子解题时，往往一步发现不了隐藏的等量关系，要通过中间量中转，才能最后建立已知和未知的联系，使问题豁然开朗，列出式子。就是说要运用以中间这个等量替换的思考策略。大家会看到，在本课教学中，教师由简单的一次性等量代换，逐步过渡到复杂的若干次是等量代换，最后过渡到解决实际问题，其实就是在潜移默化培养这个思考策略。
3. 等量代换与列方程解应用问题由于一个量可用另一个与它相等的量替换，因此我们就可用不同的方式表示同一个量或相等的量。因此，等量代换又是列方程的基础。在列方程解答应用问题中，从宏观看，列方程就是用不同的方式表示同一个量。比如，下面的问题：甲、乙二人之间的路程是20千米，二人同时出发相对行，甲每小时行3千米，4小时相遇。乙每小时行几千米？设乙每小时行x千米，我们选定用二人共行的路程列等式。4x＋3×4，为表达行程的一个方式，我们再用另外的方式表示行程，即20表示行程：
4x＋3×4 20
学生有了守恒思维水平，知道这是用不同的方式表示同一个量，用等号一连接，一个方程就列成了：
4x＋3×4=20
这就是我们所说的天平原理。小学学生有了守恒这个思维基础，感悟了等量代换这个思想，特别形成了等量代换这个意识，到中学列复杂的方程就不了困难了。这个往往是个隐形目标，学生到初中，才能显露出小学教师当时教学水平。
四、教材中一个问题的解答的思维过程分析 6根胡萝卜换2个大罗卜，9个大萝卜换3棵大白菜。6棵大白菜换多少根胡萝卜？解答守恒问题过程，是等量代换过程，是数学语言和符号语言的翻译过程。此类问题有基本解答方法，也有技巧解答。我认为，先引导学生用基本方法这个通法，而后从通法中发现解题技巧，更利于发展学生思维。大家看，换苹果的过程中，那个女孩解题技巧不就是在前面的男孩一个砝码换4个苹果的基础上发现的吗？教者在教学中，强调了等量代换时的中间量。这个思想对该题解答提供了基础性经验铺垫。我们回到该问题。想解答出该题，需要若干次等量代换和守恒思维。该问题难就难在这里。该题通法解答思路一般产生于逆向思维，我将思维展开放大：想求6棵大白菜换多少根胡萝卜，按以往常用的归一法，就要先求1棵大白菜换多少根胡萝卜；但目前找不到大白菜和胡萝卜的关系，而有大白菜和大萝卜的关系，故从用中间量来等量代换思想出发，应求1棵大白菜换几个大萝卜；由9个大萝卜换3棵大白菜，归一的思想知道1棵大白菜换3个大萝卜；到现在想最后求得问题解答，就要找大罗卜和胡萝卜的关系；再看原题，6根胡萝卜换2个大罗卜，知1个大罗卜换3根胡萝卜，问题豁然爱浪开朗。我们将该思路的解答过程作心理分析如下：
6根胡萝卜价格=2个大罗卜价格（语言翻译） 2个大罗卜价格=6根胡萝卜价格（等量代换，逆向思考）
1个大罗卜价格=3根胡萝卜价格（守恒，归一思考） （1） 9个大萝卜价格=3棵大白菜价格（语言翻译）
3棵大白菜价格=9个大萝卜价格（等量代换，逆向思考） 1棵大白菜价格=3个大萝卜价格（守恒，归一思考）
（2）比较，对应：
1棵大白菜价格=3个大萝卜价格 (1)
1个大罗卜价格=3根胡萝卜价格 (2) 故1棵大白菜价格=3个大萝卜价格=3×3根胡萝卜价格 =9根胡萝卜价格. (等量代换) 故6棵大白菜价格=9×6根胡萝卜价格=54根胡萝卜价格. 此时我们引导学生反思解答过程，由基本思考出发启发学生：上面运算是先求1棵白菜换几根胡萝卜，再求6课白菜换几根胡萝卜，绕弯了，我们直接求6棵大白菜换几根胡萝卜多好啊。学生回顾解题过程，在讨论中会发现类似如下等量代换技巧：由3棵大白菜=9个大萝卜知6棵大白菜=18个大萝卜（整体思考）（价格字我省略）由2个大罗卜=6根胡萝卜知18个大罗卜=54根胡萝卜（整体思考）因此6棵大白菜=18个大萝卜=54根胡萝卜（等量代换，整体思考）其他方法略。
上面是我从认知角度出发，对等量代换教学内容几个问题的分析。将学生解答等量代换问题的思考过程、特点和难点剖析清楚，我们就能知道：在等量代换问题教学中，在何处启发才更合理；在哪个环节渗透集合的思想和等量代换的思想；学生在哪些过程中要独立思考；学生在哪些过程要合作交流；经历何过程才能实现教学目标。我们探讨这些，有助于调动学生在经历活动过程中，理解问题，体验其数学思想，获得经验，实现教学目标。（以上仅仅供参考。可能有打字错误，见谅。）
