《怎样解题---数学思维的新方法》学习笔记
2013-05-04 23:30阅读：
今天看著名数学家波利亚写的《怎样解题---数学思维的新方法》，虽然只是读了一部分，但收获却远大于文字的内容，读后不得不佩服作者的大师风范：
一是可读性，文章虽然说的是数学上的内容，但内容不枯燥，感觉很有生气、饶有兴味，读起来一目了然；
二是通俗性，这类书如果写的晦涩难懂，是很难读下去的，但大师能够深入浅出，让读者觉得很容易“沟通”，从而拉近了作者与读者的距离，让人觉得举例说理亲切、自然、可信、可行。
也明白了这本书经久不衰的原因。好书的确能给人启迪与智慧！
摘录一部分内容与自己的感想：
本书引言通过“怎么解题”这张表中的问题与建议来组织论述书中的内容。表中包含四部分内容“理解题目、拟定方案、执行方案、回顾”。
书的内容共有四部分：
第一部分 在教室里
第二部分 怎样解题
第三部分 探索法小词典
第四部分 题目、提示、解答
我今天读了第一部分
在教室里的一部分：
目的
1、帮助学生
“。。。需要时间、实践、奉献和正确的原则。”这些关系是辩证统一，反思
我们的教学，仍然有不少老师认为靠大量的训练、靠自己多付出以帮助学生取得提高成绩，如果没有实践、又缺少正确的原则，无疑是低效、甚至无效的。
作者说“学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。。。帮助。。。使学生有一个合理的工作量”这样做可以调动学生积极性与主动性，突出学生的主体地位。
“。。。最好是顺乎自然地帮助学生。教师应当把自己放在学生的位置上，他应当看到学生的情况，努力去理解学生心里正在想什么，然后提出一个问题或者指出一个步骤，而这正是学生自己原本就想到的”。我们备课强调备学生，其实这就是最好的做法，而更应该做的是因为老师的点拨让学生觉得自己原本就想到的---这才是顺乎自然的帮助，是真正的点拨。自然是一种教学艺术！
2、问题，思维，思维活动
“为了能有效地，但不露痕迹和自然地帮助学生，教师得要一次又一次地问同样的问题，指出同样的步骤。这样，在数不清的题目中，我们不得不问这样的问题：未知量是什么？。。。采用一个建议，来更自然地得到同样的效果：观察未知量！问题和建议是为了同一个效果；它们试图引起同样的思维活动”挑选、安排问题，以推进思维活动；同样的问题可将注意力集中到未知量上来（见5）。
其实我第一次看并不理解，后面看到作者所举的游泳的例子来真正明白作者的用意：
“解题是一种实践性的技能，好比说就象游泳一样。我们是通过模仿与实践来学会任何一种实践性技能的。”这种做法正是让学生的思维在实践。
4、常识
“观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似的未知量的题目”“因为问题与建议都是自然的、简单的、明显的，都仅仅是普通的常识；但这些问题和建议是用很普通的词语来叙述普通的常识。它们建议某种处理方法，该方法对于任何认真对待他的题目而且有一些常识的人而言是自然的。但按正确方法做的人通常并不注意用清楚的语言来表达他的做法，他也可能没有能力那么表达；而我们的表述试图这样来表达。”
其实这段内容就是我们所说的：我想知道你是怎么想到这样做的，而不只是告诉我方法，这是我们做习题研究当中最欠缺的！
同时也指出，方法总是源于过去的认知与经验，我们需要这样去联系以便找到可能的解题的思路。
5、教师和学生，模仿和实践
如果同一个问题不断地对学生有所帮助，那么他很难会不注意到这一点，而且这将引导他在相似的情形下自己提出这一问题。反复提出这个问题。。。由于这一成功，他发现使用这一问题的正确方法，于是他已经真正的消化这一问题了。内化的确需要时间，需要反复的训练--最后发生质变！
“学生可能对我们表中的一些问题吸收得很好，以致最终能够在恰当的时刻向自己提出恰当的问题，并且自然而活跃地进行相应的思维活动。这样的学生无疑已经从我们的表中获得了最大的益处。”我理解这就是经过长期潜移默化的影响，学生已经形成了数学意识，而我们在物理教学中同样需要培养学生的物理意识。而这些东西往往是可意会而不可言传的，而高明的教师却能把这种“内在”的东西，通过训练让学生感知并有展示给学生，让其知然更其所以然，再知其所尽然！
解题是一种实践性的技能，好比说就像游泳一样。
想要提高学生的解题能力的教师，必须逐渐培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践。强调其自身实践的不可替代性，我们好多老师虽懂，却因（“好心”）怕浪费学生的时间而做不到，使学生失去了锻炼的机会。。。
“在课堂上讲解一个题目时，他应当对他的思路稍加渲染，而且向自己提出那些他在帮助学生时使用的同样一些问题。受益于这样的引导，学生最终将发现这些问题和建议的正确使用。而且这样去做，学生将学到一些比任何的数学知识更重要的东西。”
这也是教师展现思维思轨的一种重要方式，作者曾在引言中提到过，这样做显然更有说服力。
主要部分，主要问题
6、四个阶段。
在尝试找到解法时，因为不断变化的角度，让我们觉得与最初的看法不同。每一个都不可忽略。
7、理解题目：“对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。为你所不希望的目标工作是悲哀的。这种愚蠢和悲哀的事情在学校内外经常发生。。。教师在一定程度上能对些进行检查；他请复述该陈述，而学生应该能流利地阐述该题目。学生还应该能指出题目的主要部分，即未知量、已知数据以及条件。因此，教师千万不能错过这样一些问题：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？”我觉得这种方法是很有效的，但我们有时却做的不好，因为缺少这种训练，学生没有养成好的思维习惯，有很多长题学生没等把题读完就说不会做。。。
可见经常性的问一些常识性的问题，可以对思维方式进行操练，最终变成物理意识，这可以让学生在解题时养成自觉思维的习惯。
图---“如果一幅图与该题目有关，他应画一张图并在图上标明未知量和已知数据。”
数学当中这是一种典型的数形结合思想，是一种优秀的思维习惯；在物理当中，图更加重要，因图可以帮助学生撘建思维平台，呈现物理过程，延展学生的思维长度，把题中的信息采用自己认可的方式放在一张图里，从整体与宏观上把握物理过程，这对解题的帮助是卓有成效的。物理方程长在图上这句话不假，物理好的学生都是通过作图来找到解题的途径。
8、例子：题目要有趣味、有生气，其实物理也一样，让物理生活化、趣味化、情景化，会使学生觉得物理亲切，从而让物理变化更容易让学生接受。
9、拟定方案：“解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路。”
“教师能为学生所做的最好的事情是通过不显眼的帮助，引导学生自己获得一个好的思路”。教师需要做是就是“唤起”这样一个好的思路！这也是为师的高明之处，的确要对学生的各种情况都做到应对有方，备课的准备至关重要，特别是当预设与实际出现很大偏差的时候，更需要教师的机智与灵活！
为了能够了解学生的状况，教师应该认真地回顾自己的经历，回顾自己在解答题目时遇到的各种困难和取得的各种成功。这个真的很重要，有很多时候老师展示的只是成功的一面，而老师遇到的麻烦及解决的方法往往更能帮助提高学生的解题能力，使学生借鉴到解决困难的方法与智慧。
好的思路源于过去的经验和以前获得的知识。仅仅是记忆并不足以产生一个好的思路。。。可借不管什么学科都不能只停留或依赖于记忆层面。
“在试图应用各种已知的题目或定理，考虑各种修改，以及用各种辅助题目进行试验时，我们可能会与我们最初的题目偏离如此之远，以至于有完全丧失最初题目的危险。有一个可以把我们带回到最初题目的好问题：你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？”
可见解题的过程也有一个“近---远---近”的过程，先发散再会聚，再在不同的角度，最后确定主攻方向。
10、例子：这个例子中对所遇到问题后的问角度的变换，真正体现了教者的非凡魅力。退更是一种智慧！
11、执行方案：“假如学生确定已经构思了一个方案，主要的危险在于学生忘记了自己的方案。如果是从外界获得的，在教师的影响下采纳的方案，那么这种情况是会很容易发生的。而如果他是完全依靠自己，哪怕是在某些帮助下依靠自己拟订方案，并且满意地构思出最终的，他就不会很容易地忘记自己的方案。”
很多一讲就会，一做就忘的学生，其思路就是在外界获得的，但他自己并不知道他真的不会，直到他自己来独立做这道题。因此老师不要一味地以为讲得越多，学生解题能力会更强，需要在适当的时候，检查下学生的消化理解情况，虽然他们已经信誓旦旦地说真的会了。王金战老师在辅导他女儿的时候，他的女儿也出现在这种情况。我们老师在解难题的时候同样会遇到这种情况。可见依靠自己构思方案有多么重要，这是真正学会的外在表现。值得每个一线老师注意！
利用“看出”与“证明”检查每一步的正确性。
13、回顾：“即使是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事情做。他们这样的做法，遗漏了解题中一个重要而且有益的阶段。通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力。一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻认识到：没有任何一个题目是彻底完成了的。总还会有些事情可以做；在经过充分研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解。”
这点可以说是让学生能力提升从量变到质变的阶段，可惜我们有时做的不够好，不能养成习惯，老师似乎为了讲更多的题而没有给学生留有洞察与反思的时间，学生受做更多的题能提高能力的题海战术的影响，重量轻质。这些使教与学都显得沉重起来，反而欲速则不达！
不知道有多少老师（包括我在内）能静下心来琢磨这些，有时候一闪念的想法又被原来的习惯做法取代，想与做发生了脱节。看来认真研究这些内容真的很有必要。之前看了些资料，说我国物理解题思维方面研究处于起步阶段：之前郑青岳都写过两本书，之后看过袁守华老师写过一本书，其余知之不多。
14、例子：“用文字”表述的题目比纯粹用数字表达的题目有更多的优点。。。它的结果将很容易接受多种检验。。。有检验会获得更深的印象。。。感觉得用文字表述更容易看清题目的一般规律。
17、教师提问的方法：
一开始所提的问题必须是简单的、自然的和普适的，应当简短，不然不可能不露痕迹。。。
简短，从而使问题有可能自然地、在各种不同的环境中常常重复，它们就有机会最后被学生消化，从而有助于形成良好的思维习惯。
看这本书还是因为看郑青岳老师的书中介绍，他曾经看了很多遍，收益颇多，所以才上网买了这本书。的确值得细读、品读，并结合教学不断进行反思。
