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附件:论文《浅谈立体几何中的垂直关系》

2014-01-10 16:27阅读：

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浅谈立体几何中的垂直关系

立几何在检测观察能力，思维能力和空间想象能力方面具有独特的作用，是历年高考的重要内容。陕西省立体几何大题占12分，主要考查平行、垂直关系的判定与性质以及几何体的表面积和体积等。
我现在所带的高二一六届学生整体素质偏低，进校的分数只比中考线高十多分，分析能力和综合应用能力欠缺，这就对我们教师如何上好课，如何让学生在听懂课的同时，学会分析和综合应用提出了更高要求。我们高一同头课老师认真研究教材，仔细分析学生状况，制定了详细的教学计划。为了引起学生对立体几何的学习兴趣，我们先做了问卷调查。后进行了多媒体图形展示，这样一来让学生感到新鲜，增强了他们的求知欲。另外在备课上狠下功夫，优化课堂教学，尽量使“立体问题平面化”来处理空间问题。下面我就立体几何中与“垂直”相关的问题通过几道例题与大家共同探讨。
在立体几何与垂直相关问题的证明中，常见的是以证明线线垂直、线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题题目中常给出中点或在一个三角形中有两边相等，利用好中点往往是解题的关键。
例1 如图1， p是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点， p在平面ABC内的射影为BF的中点O,
求证： PA ┴ BF。
分析 PA , BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直。即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来现。
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证明 连接AO。 因为AF=AB,O为BF的中点，所以 AO ┴BF 即 BF ┴ AO。
又O为p在平面ABC内的射影，所以PO┴ BF，即 BF ┴PO
PA 平面PAO，所以BF ┴PA ，即PA┴BF。
上例通过证明BF ┴平面PAO，进而证明了PA┴BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有：BF ┴ AO，即得到了线线垂直。从而得到了证明本题的关键。
例2 如图2，在三棱锥 P—ABC中，AB=AC，PB=PC求证：PA ┴ BC。
分析 要证明PA ┴ BC，即证明线线垂直，可证明PA 垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA 所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好两个
等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决。


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证明 取BC中点O，连结AO，PO。因为 ，AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC┴ AO，BC┴PO。又AO与PO交于点O，AO，PO 平面PAO，所以BC┴ 平面PAO，而PA 平面PAO，所以BC┴PA，即PA ┴ BC。
本例关键是取BC中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直。
例3 如图3，三棱锥 P—ABC中，侧面 PAC┴ 底面ABC，PA=PB=PC，
求证：AB┴ BC

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分析 本题要证明的AB┴ BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现。
证明 如图3，取AC的中点O，连结PO，BO。因为PA=PB，所以PO┴ AC。
又侧面 PAC┴底面ABC，PO┴底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影。
又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=½AC，所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB┴ BC。
要证明线线垂直，当两条直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破。
例 4 如图4，四棱锥 P—ABCD中,底面ABCD为矩形。PD┴底面ABCD，AD=PD，E,F分别为CD，PB的中点，求证：EF┴平面PAB。
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分析 欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF┴平面PAB内的两条相交直线。
证明 :
如图4，取PA的中点O，连结DO，FO。因为AD=PD，所以OD┴PA。
又底面ABCD为矩形，所以AB┴AD。
又PD┴底面ABCD，所以PD┴AB，即AB┴PD。
又PD交AD于D，PD，AD 平面PAD，所以AB┴平面PAD。
又OD 平面PAD，所以AB┴OD，OD┴AB。
又AB交PA于A，AB，PA 平面PAB，所以OD┴平面PAB。
又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED平行且等于½ AB，FO平行且等于½AB，即ED平行且等于FO。
所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF平行OD，所以EF┴平面PAB。
本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF┴平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明。
从以上四道题中可见，中点问题在立体几何证明应用中起着至关重要的作用。当然中点问题不只在等腰三角形中有应用，还常出现在利用平行四边形对角线交点等问题中。
由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但无论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们常见的、基本的题型进行寻求解答。

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