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用“借刀杀人”之计解决数学问题

2014-12-08 04:03阅读：

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用“借刀杀人”之计解决数学问题
——借助图形巧解多次追及多次相遇问题
　　在朱华伟博士编著的《小学数学竞赛多功能题典》第169页中，有一道“我爱数学少年夏令营2004”试题，难度较大，其中书中给出的图示方法比较新颖非常科学，其中的解法我没有完全看明白，故而只能在书中解法的基础上另辟蹊径，也算是殊途同归吧，现给出题目和解法以及图示如下，谨供参考并思考。
　　一条公路上有相距120千米的两个汽车站A和B，一天24小时中每逢整点就有一辆汽车从A站出发开往B站，同时也有一辆汽车从B站出发开往A站，所有汽车的速度都一样，有一人早上7点钟骑自行车自A站出发沿公路向B站前进。已知在途中有8辆从A站驶往B站的汽车超过他，还有1辆与他同时到达B站。如果这个人在途中还遇到14辆从B站驶往A站的汽车，那么骑车人的平均速度最少是多少千米？
解：如图所示，骑车人7点钟从A站出发，与16点从A站出发的汽车同时到达B站。
用“借刀杀人”之计解决数学问题

用“借刀杀人”之计解决数学问题

　　本题是多次追及多次相遇问题，通常在坐标系中描述匀速直线运动是以时间为X轴，以速度为Y轴，路程为时间和速度围成的矩形的面积，这种描述法不能很好地反映多次追及多次相遇问题。而书中给出的示意图是以时间为X轴，以路程为Y轴，速度即为运动轨迹的斜率，汽车的运动轨迹与骑车人的运动轨迹相交点即为相遇或追及的地点，“穷则变，变则通。”如此一变，便能够清晰地显示出多次追及和多次相遇的情况，非常直观，将多次追及和多次相遇描述得栩栩如生，活灵活现，一幅在公路上上演的追及和相遇的全景图仿佛就在眼前，不由得让人联想到张择端的《清明上河图》。
　　编者的解法中巧妙地设7点到达A站的车是t0时刻从B站出发的，从A站7点出发的车t1时刻到达B站，并且车速一样路程一样，所以运行时间也应该一样，即7－t0 =t1－7，
　　由于t0到t2之间有14辆从B站驶往A站的汽车与人相遇，因此t2－t0应该在13到15小时之间，即13＜t2－t0≤15，有了这个关系式，确定骑车人的平均速度最少是多少千米就不难了，剩下的工作就是确定骑车人从A站到达B站所用的时间t2－7的取值范围。
　　16点从A站出发的汽车t2时刻到达B站，7点到达A站的车是t0时刻从B站出发的，t2－16＝7－t0，通过这一关系式和t2－t0的不等式来凑出t2－7的不等式，即可确定骑车人的平均速度的最小值。
　　马飞在《数学三十六计》中把这种借助图形解决数学问题的方法称为“借刀杀人”，我也经常对孩子强调借助图形解决数学问题的好处，我在孩子的卷子上填写家长意见：“题目要审清，条件看分明，要求是什么，切莫胡乱蒙。纸上画一画，思路自然通，干活不由东，累死也无功！”在审题的同时将题目中的条件画在草稿纸上，既能保证审题的准确性，也便于理清各种数量关系，更有助于找到解决问题的思路，不失为一个做数学题的好习惯。
　　让我们顺便了解一下《三十六计》之《借刀杀人》：敌已明，友未定，引友杀敌，不自出力，以《损》推演。
　　释义：敌人的情况已经明了，友方的态度尚未确定。利用友方的力量去消灭敌人，自己不需要付出什么力量。这是从《损》卦推演出的计策。
　　浅解：所谓借刀杀人，是指在对付敌人的时候，自己不动手，而利用第三者的力量去攻击敌人，用以保存自己的实力；再进一步，则巧妙地利用敌人的内部矛盾，使其自相残杀，以达到致敌于死地的目的。
　　在本题中，错综复杂的追及和相遇，让人眼花缭乱目不暇接，而一旦借用图形的帮助，就如同借了一把快刀来斩断乱麻，问题便迎刃而解了，当然，我们借助的工具一定是要强有力的，如本题中编者便给我们提供了一个非常顺手的经过技术革新的利刃，让我们很快看清了“敌”、“友”，理清了头绪，开通了思路，最终解决了问题。
　　在现实生活和工作中，我们也可能遇到所谓的“小人”与我们为“敌”，找我们的别扭，我们不必与其针锋相对“大打出手”，用王蒙的话来讲就是“因为不屑”，事实上也确实不值得，这时我们最好是回避（我不主张挑拨离间），因为小人毕竟是小人，由于我们的回避，他会去寻找新的对手，《增广贤文》中讲“莫与小人为仇，小人自有对头。”最终会有一个人或群起而攻之，使其得到应有的教训，改掉几十年改不过来的毛病，达到实际的“借刀杀人”的效果，而这种效果并非我们所竭力设计的，因为我们“自命为君子”。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　玉壶冰心

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