浅谈矩阵线性相关性的理解
2013-05-06 17:48阅读：
昨天开例会中讨论到如何描述矩阵的行相关性、和列相关性？？？找了些资料补充下这方面知识。
下面全面性理解下线性相关性：
线性相关性在线性代数课程中是一个重要内容，线性相关性是线性代数课程中教学的难点，它与后面线性方程组的解的理论有密切的联系，对于这一难点的处理是非常重要的。大多数经济类的本科线性代数课程的教材在叙述向量组的极大无关组和向量组的秩的理论时,由于这一章节的理论性比较强，一般都是从定理到定理,从证明到证明,例子较少。我们在学习完线性相关的定义和有关定理后，在学习向量的极大无关组之前，用”多余”来解释线性相关性,可使后面的问题简单化,直观化。下面我们以龚德恩等主编的《经济数学基础》的第二分册线性代数的教材为例进行说明。
首先来看线性组合的概念。
对于向量组α1,α2,…,αs和向量β,如果存在s个数k1,k2,…,ks使得
β=k1α1+k2α2+…+ksαs则称向量β是向量组α1,α2,…,αs的线性组合。换句话说向量β相对于向量组α1,α2,…,αs是“多余”的向量。
关于线性相关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks使得
k1α1+k2α2+…+ksαs=0，称向量组α1,α2,…,αs线性相关。因k1,k2,…,ks不全为零,不妨假设α1≠0则α1=-k2k1α2-…-ksk1αs。因此α1,α2,…,αs线性相关,看成是向量组α1,α2,…,αs中至少有一个“多余”的向量。
关于线性无关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果仅当k1,k2,…,ks都等于零时,才能使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立。称向量组α1,α2,…,αs线性无关。由于α1,α2,…,αs线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示，因此向量组α1,α2,…,αs线性无关看成是α1,α2,…,αs中“没有多余”的向量。
一些结论也可作相应的理解和解释。如:“如果一个向量组中的部分组线性相关,则整个向量组也线性相关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。下面两个定理是大多数同学在学习向量组的线性相关性的过程中感到最难理解和掌握的。
定理1： 设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs可由向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt线性表示，且s＞t，则α1,α2,…,αs线性相关。在课堂教学中我们是作如下解释的，向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs称为“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）
β1,β2,…,βt称为“表示向量组”。条件s＞t，看成是有”多余”的向量。即“被表示向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs相对于表示向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt有多余的向量，则α1,α2,…,αs线性相关,这样解释更便于同学们理解和记忆。
推论1：
如果一个向量组α1,α2,…,αs线性无关，并且可由向量组β1,β2,…,βt线性表示。则s≤t。推论1可解释为：如果“被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关，则被表示的向量组α1,α2,…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt没有多余的向量，即s≤t。
推论2：
两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的个数相同。
下面再举一些例子进行说明。
例1：
设向量组α1,α2,…,αs线性无关,且可由向量组β1,β2,…,βt线性
表示,则必有Ａ.t≤sＢ.t≥sＣ.t＜sＤ.t＞s。
分析：被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关，则被表示向量组α1,α
…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt来说，没有多余的向量，因此有t≥
s，故选择Ｂ。
例2：
设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs；向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt的秩分别为r1和r2，若（Ⅰ）中每一个向量均可由（Ⅱ）线性表示，则r1与r2的关系为。解应填“r1≤r
2”其理由是:
设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs的极大无关组为αi1,…,αir2，向量组（Ⅱ）β1，β2,…,βt的极大无关组为βj1,…,βjr2。则αi1,…,αir2可由βj1,…,βjr2线性表示，因αi1,…,αir2线性无关,被表示向量组αi1,…,αir2相对于表示向量组βj1,…,βjr2没有多余的向量，则r1≤r2。例3：
设向量组α,β,γ线性无关，向量组α,β,δ线性相关，则（）。A.α必可由β,γ,δB.β必不可由α,β,δC.δ必可由线性表示D.δ必不可由α,β,γ线性表示。
解：选C。
这是因为α,β,γ线性无关，则α,β线性无关。而α,β,δ线性相关，故δ可由α,β线性表示，从而δ可由α,β,γ线性表示。
例4：
已知向量组（Ⅰ）α1,α2,α3;向量组（Ⅱ）α1,α2,α3,α4;向量组（Ⅲ）α1,α2,α3,α5;如果向量组的秩分别为（rⅠ）=（rⅡ）
