《圆变方》尺规作图研究
2013-06-19 14:29阅读：
《圆变方》尺规作图研究
去年，在《圆变方又被破解》一文中，揭示了《圆变方》不仅有解，而且有无数组解。文章还指出：每组解都在幂级数
中，且相邻两项就是一组解；相邻两项的前项为半径所作的圆面积，等于后项为边长的正方形面积。因此，《圆变方》有（n-1）组解。
幂级数
，作为《圆变方》解的通式，无须过多列举论证，都能被认可。但在该文中的尺规作图，由于存在误差，那怕其误差仅有百分之几，也是错误的，不容许的。
《圆变方》自问世以来，有好多科学家、数学家绞尽脑汁都没能破解，就算违规解法都没有。可见，《圆变方》是《世界三大数学难题》中最难的一道尺规作图题。
其它几道题还有人研究过：著名的物理学家阿基米德，在直尺上刻了个记号，总算破解了《三等分角》；数学家波拉特，在两条相互垂直的直线上，先确定a和 2a后，用两只拐尺相互移动也找出
这条《倍立方体》的稜长。还有另外一个数学家埃拉托色尼，在高为2a的直角匡中，用三个30度的直角三角板，相互移动又找到了
这条线段。
按古典尺规作图的要求，这些数学家的作图方法，都是违规的。但他们的结果都是正确的。所以虽然违规，也受到世人的关注和认可。因为他们的方法对后人是一种启发，故流传至今。
现在，我们来研究《圆变方》是否也能找出违规的破解方法？《圆变方》历时两千多年，没有人尝试破解此题。在数海钩沉》一书中有如下关于《圆变方》的介绍：
可见，这种破解思路是不可取的。Cosa是近似值，当然，a角“等于”27°36也是近似值。《圆变方》若要能破解，在四个参数：1、 、π和
中，已知一个就能用尺规找出其它三个中的一个才行。那么真的连违规方法都找不到了吗？不！我想到一个违规方法：
因为，半径为1的圆，其圆周长就等于2π。那么，它的半圆弧长不就等于π了吗。对此，我设计了如下违规作图方法：
一、寻找π与半径关系（参看附图一）
1．在制图纸上，作直角坐标（X.Y），将直尺边沿与（X）轴重合，并用左手确保直尺不动。在（X）轴上任取一点（O），用右手将学生量角器竖立着，并将量角器的圆弧向左使量角的零度与（X）轴的O点重合；
2．查对相对位置无误时，将量角器按反时针方向，进行无滑动地“滚动”，直至量角器的一百八十度线落在（X）轴上，这一点为C点。则OC长就等于π线段了。
3．在（X）轴上，又取OA等于量角器的半径，这就是一条π与半径的关系线。
4．从（附图一）的C点，任作一条射线（m），任取O1C为新的π线段，则过点A作O1O的平行线便求出与新设的（π）相应的半径O1 A1。这是（附图二）的绘图依据。
二、作波拉特直角梯形（参看附图二）
1．在另一张制图纸上，作直角坐标（X、Y），并将（附图一）上的CO1和O1
A准确地搬在（Y）轴上，并更名为OC和OA；
2．用尺规找出AC线的中点O1，并以O1为心，O1A为半径画半圆交（X）轴于B点；
3．连接B、C，并作BC的中垂线（M）交（X）轴于D点；
4．用粗实线依次连接ABCD即为波拉特直角梯形。
三、作图步骤证明
1．证明OB=
∵ OA=1
（已知）
OC=π
（由违规的“滚动法”求出）
∴ 在△ABC中有
OB2=OA·OC=π
（圆幂定理）
故OB=
（即所求）
2．证明D=
∵ OB=
（前证）
OK=π
（滚动求出）
∴ OC2
=OB·OD
（圆幂定理）
OD= OC2
/OB=π2
（移项）
=
/
∴ OD=
（即所证）
四、解的验证
1．第一组解：
S圆 =π·12
=π
S正方 = · =π
2．第二组解：
S圆 =π· =π2
S正方 =π·π =π2
3．第三组解：
S圆 = 2π·π=π3 =
S正方 = · =
五、违规破解《圆变方》的意义
1．此方法违规之处，不是用了量角器的问题。字典上已有解释：圆规是画弧、画圆找点的工具，有两脚规和不是两脚规的圆规。因此，学生量角器不用来量角，就成为画圆的工具——圆规了。我用量角器就是为了画半圆，从这点看，没有违规。我说是违规的，是指把量角器竖立起来进行“滚动”从而将半圆弧线直化。
2．此法的意义之一是：不仅能破解《圆变方》，更大的意义是，因此而创立了“超越数”π的乘方和开方的尺规作法。
3．用“滚动法”求π是违规的。但我认为，应象前述几位数学家一样，应受到世界数学爱好者的关注。这对数学家爱好者或后人也都是一种启示，或许在这种启示下，有人会发挥其“超越思维”将《圆变方》彻底破解呢。
4．联想到2011年以来破解的：《三等分角》、《等分圆》、《倍立方体》和《新月变方》等世界难题，我认为《世界三大数学难题》无解的铁案，应该是被颠覆了。
