2024学年第二学期数学教研组活动（五）

2025-04-02 19:35阅读：

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教研组博客：以“分析法”解三角形的教学实践与思考

授课老师：李逸群
2025年3月26日

一、引言：解三角形的重要性与方法概述

解三角形是几何学习中的重要内容，贯穿于初高中多个知识点，也是高考数学的常见考点。传统教学中，学生常依赖公式的机械套用，但在复杂问题中往往难以突破。为此，我们引入“分析法”解三角形，通过逻辑推理与工具结合，帮助学生建立系统性解题思维。

二、案例分析：从例题看“分析法”的应用

例题1：在ABC中，已知边c=5、边b=5，求边a。
分析：
题目未明确给出角度或其他边的关系，需结合隐含条件。
假设条件

：若已知两边及夹角（如∠C），可用余弦定理直接求解a；
若未知夹角，则需进一步信息（如高、面积或共边角关系），此时需通过“搭桥”策略寻找关联部分。
例题2：在ABC中，已知边c=6，求边b。
分析：
同样需明确已知条件是否包含角度或其他边。若题目隐含两个三角形的关联（如共高或共角），则通过“搭桥”建立方程，结合正弦定理或余弦定理求解。

三、工具回顾：三大核心公式的本质与应用

正弦定理：

适用场景：已知两角一边或两边及对角。
余弦定理：

适用场景：已知三边或两边及夹角。
面积公式：

适用场景：结合高、角度或边的关系间接求解未知量。

四、“分析法”解题步骤与“搭桥”策略

明确所求与已知条件：梳理题目中的边、角信息，标注未知量；
选择工具：根据已知条件选择正弦定理、余弦定理或面积公式；
“搭桥”建立关联：
共边/共角：若涉及两个三角形，寻找共享的边或角作为桥梁；
共高：利用高构造方程，结合面积公式联立求解；
验证逻辑链：确保每一步推导的合理性，避免遗漏多解情况。

五、变式训练与真题实战

变式训练1：
在ABC和ABD中，共用边AB=4，已知∠ACB=30°、∠ADB=45°，求CD的长度。
关键点：通过共边AB和不同角度建立方程，结合正弦定理求解。
真题链接（2023年高考）：
已知四边形由两个三角形组成，共用对角线AC=8，且∠ABC=60°、∠ADC=90°，求对角线BD的长度。
解析：利用共边AC作为桥梁，分别在两个三角形中应用余弦定理和勾股定理联立求解。

六、教学反思与小结

强调本质理解：正弦定理、余弦定理的本质是揭示边角关系，教学需避免公式的机械记忆；
“分析法”培养逻辑思维：通过分步拆解问题，引导学生从“已知”向“所求”递进；
“搭桥”策略突破难点：在复杂图形中，关联部分的识别是解题关键，需通过典型例题强化训练。
结语：
“分析法”解三角形不仅是解题技巧，更是逻辑思维的锻炼。教学中应注重学生分析能力的培养，结合变式训练与真题实战，帮助学生实现从“套公式”到“系统分析”的跨越。
评课建议：设计分层练习题，从基础到综合逐步提升，并鼓励学生绘制图形辅助分析，增强几何直观。

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