信号分析基础
2016-11-21 14:24阅读：
主要内容：
1.信号的分类与描述
2.周其信号与离散频谱
3.非周期信号与连续频谱
4.随机信号
工程测试的基本任务是从被测对象中获取反映其变化规律的动态信息，而信号是信
息的载体，信号中包含着反映被测对象状态或特性的有关信息。
信号分析是工程测试的核心内容之一，信号分析的内容包括：研究信号的特征及其
随时间变化的规律；信号的构成；信号随频率变化的特征；如何提取有用信息并排除信
号中的无用信息（噪声）等。
2.1 信号的分类与描述
2.1.1 信号的分类
信号实质上是反映被测对象状态或特性的某种物理量。信号的分类方法很多，通常
信号是时间的函数，以信号所具有的时间函数特性加以分类，信号可以分为确定性信号
与随机信号、连续信号与离散信号、能量信号与功率信号等，如图2.1.1所示。下面分别
说明各种信号的定义和特性。
图2.1.1 信号的分类
- 确定性信号与随机信号
（1）确定性信号
确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信号。给定一个时间值就可以得
到一个确定的函数值。确定性信号根据它的波形是否有规律地重复又可进一步分为周期
信号和非周期信号两种。
①周期信号 按一定时间间隔T（周期）重复变化的信号，它满足下列关系式
（2.1.1）
最简单的周期信号即简谐周期信号，是按正弦或余弦规律变化，且具有单一的频率
。正弦函数的时间函数表达式为
（2.1.2）
式中：A——振幅，f——频率，φ——初相位。
当三个参数已知时，正弦信号
x(t)
在任一时刻的数值就可以完全确定。
由两个或两个以上简谐周期信号叠加而成的周期信号称为复杂周期信号，它具有一
个最长的基本重复周期。例如周期性方波信号、周期性三角波信号等都属于复杂周期信
号。
②非周期信号 不具有周期重复性的信号。非周期信号包括准周期信号和瞬态信号
两类。
准周期信号是由有限个简谐周期信号合成的，但其中各简谐分量之间无法找到公共
周期，因而不能按基本周期重复出现。
瞬态信号是指或者在一定时间区域内存在，或者随时间的增加而衰减至零的信号。
它们的共同特点是过程突然发生、时间极短、能量很大。
确定性信号的波形如图2.1.2所示。
（2）随机信号
随机信号描述的物理现象是一个随机过程，例如汽车行驶时产生的振动、环境噪声
、切削材质不均匀的工件时所产生的切削力等，如图2.1.3所示。
随机信号的特点是任何一次观测的结果（样本函数）只是许多可能产生的结果中的
一种，但其瞬时信号值的变化服从统计规律，因此可以用概率统计的方法来描述随机信
号。
随机信号的统计特征参数包括均值、方差、均方值、概率密度函数、相关函数和功
率谱密度函数等（后面详细论述）。
随机信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号两种。平稳随机信号是指其统计特
征参数不随时间而变化的随机信号，否则为非平稳随机信号。在平稳随机信号中，若任
一单个样本函数的时间平均统计特征等于该随机过程的集合平均统计特征，这样的平稳
随机信号称为各态历经（遍历性）随机信号，它表明一个样本函数表现出各种状态都经
历的特征，有充分的代表性，因此只要一个样本函数就可以描述整个随机过程。
判断一个信号是确定性信号还是随机信号，通常是以通过实验能否重复产生该信号
为依据。在相同的条件下，如果一个实验重复多次，在一定的误差范围内得到的信号相
同，则可以认为该信号是确定性信号，否则为随机信号。
2.
连续信号与离散信号
在信号的时间函数表达式中，按信号的取值时间是否连续，将信号分为连续信号和
离散信号。
（1）连续信号
在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连续点（第一类间断点）外，都可
给出确定的函数值，即时间变量t是连续的，此类信号称为连续信号。例如正弦信号、直
流信号、阶跃信号、锯齿波、矩形脉冲信号等都属于连续信号，如图2.1.4（a）、（b）
所示。
连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，若时间变量和幅值均为连续的信
号称为模拟信号。
所谓第一类间断点，应满足条件：函数在间断点处左极限与右极限存在；左极限
与 右极限不等；间断点收敛于左极限与右极限函数值的中点。
（2）离散信号
在一定的时间间隔内，只在时间轴的某些离散点给出函数值，此类信号称为离散信
号。离散信号又可分为两种：时间离散而幅值连续的信号称为采样信号；时间离散且幅
值离散（量化）的信号称为数字信号，如图2.1.4（c）、（d）所示。
3. 能量信号与功率信号
在工程测试的非电量测量中，常把被测非电量信号转换成电信号（电压或电流等）
来处理。如果将电压信号
加至电阻R上，其瞬时功率
。当
＝1Ω时，
。而瞬时功率对时间积分就是信号在该积分时间内的能量，因此，若不考虑
信号实际的量纲，则把信号
的平方
及其对时间的积分分别称为信号的功率和能
量。
当信号
满足
，则认为信号的能量是有限的，称之为能量有限信号，
简称能量信号，例如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。
若信号
在区间（－∞，＋∞）的能量是无限的，即
，但它在有限
区间（t1，t2）的平均功率是有限的，即
（2.1.3）
这种信号称为功率有限信号，简称功率信号。例如正弦信号是能量无限信号，但在一定
的时间间隔内其功率是有限的，因此它是功率信号。
应该指出，信号的能量和功率，未必具有真实功率和真实能量的量纲。
2.1.2 信号的描述
信号分析就是采用各种物理的或数学的方法提取有用信息的过程，而信号的描述
方法提供了对信号进行各种不同变量域的数学描述，表征了信号的数据特征，它是信号
分析的基础。通常以四个变量域来描述信号，即时间域（简称时域）、频率域（简称频
域）、幅值域和时延域。
以时间作为自变量的信号表达，称为信号的时域描述。
以信号的频率作为自变量的信号表达，称为信号的频域描述。
时域描述是信号最直接的描述方法，它反映了信号的幅值随时间变化的过程，从
时域描述图形中可以知道信号的时域特征参数，即周期、峰值、均值、方差、均方值等
。它们反映了信号变化的快慢和波动情况，因此时域描述比较直观、形象、便于观察和
记录。
频域描述可以揭示信号的频率结构，即组成信号的各频率分量的幅值、相位与频
率的对应关系，因此在动态测试技术中得到广泛应用。
振动信号的波形和频谱
信号的幅值域描述是以信号幅值为自变量的信号表达方式，它反映了信号中不同强
度幅值的分布情况，常用于随机信号的统计分析。由于随机信号的幅值具有随机性，通
常用概率密度函数来描述，概率密度函数反映信号幅值在某一范围内出现的概率，提供
了随机信号沿幅值域分布的信息，它是随机信号的主要特征参数之一。
以时间和频率的联合函数来同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，称
为信号的时延描述。它是非平稳随机信号分析的有效工具，可以同时反映其时间和频率
信息，揭示非平稳随机信号所代表的被测物理量的本质，常用于图像处理、语音处理、
医学、故障诊断等信号分析中。
信号的各种描述方法是从不同的角度观察和描述同一信号，并不改变信号的实质，
它们之间可通过一定的数学关系进行转换，例如傅立叶变换可以将信号描述从时域转换
到频域，而傅立叶反变换可以从频域转换到时域。图2.1.5形象地表示出方波信号在时域
、频域之间的关系。
图 2.1.5 周期性方波信号的时域、频域描述
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2.2.1 傅立叶级数与周期信号的分解
从数学分析已知，任一周期信号x(t)在有限区间（t，t+T）上满足狄里赫利条件时，
即①信号在定义周期[0，T]内单调连续或只有有限个第一类间断点；②在此定义周期内
只有有限个极限点；③x(t)是绝对可积；则信号x(t)可以展开成傅立叶级数。傅立叶级数
有两种表达式，即三角函数展开式和复指数函数展开式。
1. 傅立叶级数的三角函数展开式
 
（2.2.1）
式中：ω0——周期信号基频的角频率，
T——信号周期；
a0，an，bn——傅立叶系数；
a0——常值分量，  ，表示信号在一个周期内的平均值；
an——余弦分量的幅值，  ；
bn——正弦分量的幅值，  。
将式（2.2.1）中正弦、余弦项合并，可得  （2.2.2）
式中：An——各频率分量的幅值，An=  ；
 n——各频率分量的初相位，  。
式（2.2.1）和（2.2.2）实际描述了周期信号x(t)的频率结构，表明周期信号是由一个常
值分量a0和无穷多个不同频率的谐波分量叠加而成的。由于n是整数序列，当n=1时，
称为一次谐波分量（基波），基波的频率与信号的频率相同；当n＞1时，
称为n次谐波，各高次谐波分量的频率都是ω0的整数倍。
以频率ω为横坐标，以各次谐波的幅值An或相角  n为纵坐标分别作图，则可以得
到该信号的幅频谱图和相频谱图，横坐标的取值范围为0～＋∞。
2. 傅立叶级数的复指数函数展开式
根据欧拉公式
 （2.2.3）
则有
 （2.2.4）
将式（2.2.4）带入公式（2.2.1）可得
 （2.2.5）
令 
则有：
 （2.2.6）
由于cn和c-n是一对共轭复数，则
 （2.2.7）
当n=0时，bn＝0，  ，于是
  ＝ 
因此  与n=0时的  是一致的。于是，可将式（2.2.6）中的各项合并，得到傅立叶
级数的复指数展开式，即
 （n=0,±1, ±2,…） (2.2.8）
式中：  ——复数傅立叶系数，即
（2.2.9）
以上结果表明，周期信号x(t)可分解成无穷多个指数分量之和；而且傅立叶系数
 完
全由原信号x(t)确定，因此  包含原信号x(t)的全部信息。
 也可用实部、虚部表示，即
 （2.2.10）
其中  ；
 。
复数傅立叶系数  的模和相角分别表示各次谐波的幅值和相位角，因此  包括了周
期信号所含的各次谐波幅值和相位角的信息，因而它同样是周期信号的频谱函数。
以频率ω为横坐标，分别以  、  为纵坐标，可以得到信号的幅频谱图和相频谱
图；也可以分别以  的实部和虚部为纵坐标，得到信号的实频谱图和虚频谱图。
比较傅立叶级数的两种展开式可知：三角函数展开式的频谱为单边频谱（ω从0～
＋∞），复指数函数形式的频谱为双边频谱（ω从－∞～＋∞）；各次谐波的幅值在量值上有确定的关系，即   ，其原因是  和  中n的取值范围不同，前者n在－
∞～＋∞内取值，而后者n在0～＋∞内取值。
在式（2.2.8）中，n值可正可负。当n为负值时，谐波频率  为“负频率”。怎样
理解“负频率”呢？这时因为从实数形式的傅立叶级数过渡到复数形式的傅立叶级数，
用复数表示正弦和余弦，频率是复指数函数的指数，因此负频率是与负指数相关联的，
是数学运算的结果，并无实际的物理含义。
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