专著阅读之十四：《数学思维与小学数学》有感(胡静）
2017-10-29 08:21阅读：
郑毓信，南京大学哲学系教授、博士生导师，主要研究方向是数学哲学、数学教育。几年前在南京听了郑教授的报告，便被他的一些观点引起共鸣，对他甚是敬佩。于是立时买了一本他的著作《数学思维与小学数学》进行拜读学习，果然所获颇丰。
郑毓信教授在这本书中提到：数学教师成长的一个必然途经，即是由唯一重视具体数学知识和技能的教学转而意识到应当更加重视学生思维方式的养成以及更深层次的文化熏陶，也就是在教学过程中，要更加关注数学思维的总体特征，并努力做到在小学数学知识内容的教学中很好地予以体现，从而就能较好地实现“帮助学生初步地学会数学地思维”。在数学教学活动当中，要处理好数学思维与具体数学知识内容的教学这两者之间的关系，用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学，并且不仅仅停留于“帮助学生学会数学地思维”，更加强调“通过数学帮助学生学会思维”。
郑教授的这番观点对我启迪非常大，当时，我的教学正处在一个瓶颈阶段，如何突破自我，探寻更精彩更深刻的数学课堂？我从郑教授的书中找到了答案。为此，我申请了课题研究《通过对数学思想方法的关注分析来指导知识教学的实践研究》，将郑教授的一些观点带到日常教学中去实践、去研究、去引领学生在数学课上做“思维的体操”。
1、变与不变
郑教授在书中提到，思维的灵活性与综合性同样被看成数学思维的又一重要特点，在数学中应当根据情况与需要在不同的方面与环节之间作出灵活的转换，乃至作出新的必要整合。例如我在教学第四册《求一个数是另一个数的几倍》这节课，由于二年级学生理解“倍”的概念比较困难，我首先带学生体悟“2倍”的内涵，即采用“变中求不变”的方式，撷取“猴2只、小鸡4只、小鸟8只……”条件，感悟到动物在变、只数也在变，但小鸡与猴、小鸟与小鸡……之间的关系没有变，都是“2倍”的关系。在练习中我设计了两个“变式练习”：红花有2
朵，黄花有6朵；先变黄花6朵为8朵，再接着变红花2朵为4朵。首先让学生自主研究“黄花分别是红花的几倍”，巩固对“倍”的理解；然后有目的地引导学生进行两组对比后发现：一倍数不变，几倍数变化，倍数也发生变化；几倍数不变，一倍数变化，倍数也发生变化。这样的处理防止了数学学习中的思维定势，提高了学生的判断分析能力。
2、简与深
一直以来，我们对数学思想方法的教学认识不足，常常有着“教学数学思想方法就是做课外思考题”的错误观念，反而以难题造就了难度。而实际上，“普遍的规律往往藏在简单的现象背后”，把看似简单的数学知识往深处挖掘一点，能很好地促进学生思维的深刻性。
【案例】——《圆锥的体积》之实践活动
1、出示问题：一个圆柱形橡皮泥，底面积是12厘米²
，高是5厘米。如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是多少？
2、分析问题：大家看，在这个捏橡皮泥的过程中，什么变了？什么没变？
（引导学生明确：圆柱和圆锥的体积和底面积不变，高变了。）
3、解决问题：请大家自己解决这个问题。
生： 12×5=60（厘米³）
60÷
÷12=15（厘米）
师： 60厘米³表示什么？为什么它表示圆锥的体积呢？
生2:
5×3=15（厘米）
师：这里的3表示什么？你怎么知道圆锥的高是这个圆柱的高的3倍呢？
生：如果圆锥的高与圆柱的高相等，那体积就只有圆柱体积的了，要体积相等，圆锥的高就必须是圆柱的高的3倍。
4、放手探究：
师：究竟是不是这样呢？建议大家可以重新举例，将题目中的12和5换成其它数据，算算圆锥的高是多少？是不是圆柱的高的3倍？（学生开始思考解决，教师巡视。）
5、反馈：
生①：我换成20厘米²和6厘米，用20×6÷
÷20=18厘米，是圆柱的高的3倍。
生②：我换成18厘米²和9厘米，用18×9÷
÷18=27厘米，是圆柱的高的3倍。
生③：我是换成40厘米²和10厘米，用40×10÷
÷40=30厘米，也是圆柱的高的3倍。
……
师：大家发现规律了？
生齐声：底面积和体积相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍。
生④：我还发现这些算式有共同点，可以用字母表示这个规律。
假设圆柱底面积是ａ厘米²，高是ｈ厘米：
ａ×ｈ÷ ÷ａ=ｈ÷
=3ｈ厘米。
师：大家觉得他讲得好吗？好在哪里？是啊，太棒了，发现了共同的规律还能用字母的式子进行推导。
生⑤：我也能用字母算式推导。假设它们的底面积都是ａ平方厘米，则它们的体积都是5ａ平方厘米，列式为：5ａ÷
÷ａ=15（厘米）
师：这样看来，这道题目去掉哪个条件也可以解决的？
生：可以去掉“底面积是12厘米²”这个条件。
在上述案例中，我没有满足于学生解决现有问题，而是就学生的“圆锥的高是圆柱的高的3倍”这一想法往纵深处挖掘，有意识地让学生更换题中数据，去计算比较，得到规律。多次计算比较的过程，启迪了部分学生想到用字母算式去推导的办法，使学生们经历了比较归纳的思维方式，体会了符号化数学思想方法的优越性。其实，作为教师的我们就需要先练就一双慧眼，把简单内容中蕴藏的数学联系规律、数学思想方法挖掘到位，就能以简单促成深刻。
3、
异与同
比较和化归是小学数学中比较常见的、重要的数学思想方法。小学生学习数学知识，需要通过各种比较，形成新的概念；也常常通过转化，将有待解决的问题，归结为一类已解决的问题中去，以求得解决。这启示我们在教学中，要有意识地引导学生“异中求同”，更好地理解数学知识，领悟数学思想方法，并发展思维的概括性和灵活性。
【案例】——《购物小票——小数加减法》
1、师：刚才好多同学说1.25+2.41=3.66，真的是3.66吗？请大家想办法说明自己的想法，可以画图、可以文字说明、可以借助学具、也可以用算式等等。
2、学生思考。
3、反馈交流：
师：瞧，老师收集到了4种不同的想法，请这些同学一一说明吧。
生1：我就转为1元2角5分+2元4角1分，得到3元6角6分，就是3.66。
师：谁和谁相加？
板书：元
角 分
+ 元
角
分
生2：我用学具卡片涂色的。先涂1片2条5格，再涂2片4条1格，一共是3片6条6格，就是3.66。
师配合教具图片演示，并提问：谁和谁相加？
板书：片 条
格
+ 片
条
格
③生3：我用小数的意义去想的。1和2相加得3,2个十分之一和4个十分之一相加得6个十分之一，5个百分之一和1个百分之一相加得6个百分之一，所以得到3.66。
师配合数位表摆数字卡片，并提问：谁和谁相加？
板书： 一
十分之一
百分之一
+ 一
十分之一
百分之一
④生4：我把1.25元看成125分，2.41元看成241分，这样就变成整数相加了。125+241=366分，就是3.66元。
师：转变为整数后，谁和谁相加？
板书： 百
十
一
+
百
十
一
⑤生5：我就模仿整数加减法列算式的。
师：你在列算式时是把谁和谁对齐相加的？为什么？
4、整理小结：
①师：瞧，同学们发挥聪明才智，想到很多办法来计算，大家觉得这些办法都用到了哪些知识呢？
（生：元、角、分的知识；整数加减法的知识；小数的意义）
师：也就是说，大家都在想办法把新知识1.25+2.41去转化为已经掌握的旧知去解决，对吗？这真是一个好办法。
②师：进一步去比较这些方法，发现了吗？它们有什么相同点？
生：都是把相同的单位相加的。
师：是啊，两个小数相加时，也和整数相加一样，要把相同的计数单位对齐相加。有什么好办法能很快把小数相同的计数单位对齐呢？
生：只要把小数点对齐就行了。
在这节课中，我有意识地让学生自由地去思考表达，呈现出多样的计算方式，在此基础上加以比较、概括、提升，突出了“小数加法计算要把小数点对齐（即相同计数单位对齐）”这一教学重难点，使学生学得轻松明白。而在这一学习探索过程中，也促使了学生经历运用比较、转化等数学思想方法的过程，体会数学的“繁中有简、异中有同”的魅力！
看一本书，起共鸣，受启迪，是令人愉悦的一大快事。郑教授的《数学思维与小学数学》，专业性强，若浅述心得，只觉不能尽言；若摘抄片语，只恐难表心意；唯在自己的教学得以去实践，方觉尽兴快哉。据此，记下若干教学片断体悟以作读《数学思维与小学数学》之心得。
