唐山市小课题研究结题报告
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唐山市小课题研究结题报告
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唐山市玉田县杨家套乡王会艳
【内容摘要】：在小学数学图形与几何教学教程中感悟数学思想，积累数学活动经验。数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
教学中注重结合具体的教学内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学经验的重要途径。
【关键词】：数学思想方法小学几何教学
【课题提出的背景】
随着《数学课程标准2011版》的颁布实施，全国中小学的课程改革实验又进入一个新的十年改革。将课程目标进一步概括为“四基”，即数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。将数学思想 “四基”之一，足见数学思想在数学教学活动中的重要地位。
一位数学教育家在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话：“学生们在学校所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”可见数学思想在实际生活中的重要性。
通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习的问题，增强应用数学的意识”。
在小学几何知识的教学中，重点要让学生学会运用多种感官参与获取新知识，让学生在认识几何体、理解几何知识的同时，更能完善空间观念，养成更好地学习习惯、学习兴趣、培养出创新精神以及实践能力。因此在小学几何教学中适当渗透一些数学思想方法，对于开发学生智力，培养良好的思维品质以及加强中小学数学的衔接都将是十分有益的。数学思想方法作为基本思想的形式之一，已经正式列入《课程标准》“四基”行列，它一定会成为数学教育的研究热点。鉴于此，我提出了小学几何教学中渗透数学思想方法的实践与研究这一课题，具有一定的理论价值和实践意义。
【课题界定与理论依据】
一、什么是小学数学思想方法
所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。
所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。
数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多地反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。在《数学课程标准》中，明确提出数学课程应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有：数形结合思想方法、集合思想方法、对应思想方法、分类思想方法、函数思想方法、极限思想方法、化归思维方法、归纳思想方法、符号化思想方法、数学模型思想方法、统计思想方法、假设思想方法、代换思想方法、比较思想方法、可逆思想方法、类比思想方法、转化思想方法、变中抓不变的思想方法、整体思想方法、抽象和概括思想方法等。
【研究的目标】
1.通过本课题的研究，对数学思想方法的概念有更深入的理解，明白几何课堂教学中有无渗透数学思想方法区别及优势，构建小学几何教学中渗透思想方法的新型教学模式。
2.通过本课题的研究，使广大教师在教学过程中能自觉的、系统的渗透数学思想方法，教给学生终身受益的数学精神、思想、方法，并能随时随地的发挥作用。
3.通过本课题的研究，使学生能灵活运用多种思想方法去解决问题，发展实践能力与创新精神。
4.通过本课题的研究，探索和总结出一套在小学几何教学过程中渗透数学思想方法的教学策略。
【研究内容和方法】
一、研究内容
1.数学思想方法的认识和形成的研究。
①小学阶段数学思想方法的特征研究。
②小学数学中蕴涵的常见数学思想方法的研究。
2、小学几何教学中渗透数学思想方法的实践操作研究。
①小学几何教学中数学思想方法的主要教学形态的研究。
②小学几何教学中有效渗透数学思想方法的研究。
二、研究方法
本课题研究，以教学案例观察法为主，积极探索“小学数学教学过程中渗透数学思想方法”的对策。同时在研究中还辅之以文献资料法、行动研究和经验总结法，确保本课题得以高效的实施。
1、文献资料法
通过搜索网络、理论专著和报刊资料，借鉴相关理论资料，寻求理论支撑，指导本课题的研究。
2、教学案例观察法
实施课堂观察，针对学生在课堂学习中经历知识形成过程方面存在的问题，进行罗列、分析情况，撰写报告。并根据调查结果提出改进的措施。
3、行动研究法。
研究中加强与教学行为的结合，明确改进措施时，及时组织教学应用，考察本课题的实践效果。
4、经验总结法
通过长期坚持的研究实践，及时地总结经验，以期形成科学的教学认知理论体系，弥补教学工作中的不足，以利于促进小学几何教学和教研工作更有成效。
【研究过程】
【课题研究的结果分析】
一、数形结合思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。
“数形结合思想方法”的渗透和应用。
（一）、以形助数
根据数学问题中“数”的结构，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征、规律来研究解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字计算。在这里我们暂且称之为“以形助数”，指在我们数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法，以便于我们对其进行分析和理解。 “以形助数” 中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形；则可另行构造或联想。因此“以形助数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。而小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？请看：
1、用图形的直观帮助学生理解数量关系，提高教学效率。
用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几(少几)”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，可以设计成下面的图形：
结合黑板上的实物图形，让学生说：有6个□，△的个数比□的3倍还多4个；也可以说：有6个□，△的个数比□的4倍少2个；
接着，出示下面的问题：
(1)□有6个，△比□的3倍多4个，△有多少个？
算式：6×3＋4=22（个）
(2)□有6个，△比□的4倍少2个，△有多少个？
算式：6×4-2=22(个)
比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或减去跟整倍相差的数。
这一段教材，一般的教法是：先教求比一个数的几倍多几的数，再教求比一个数的几倍少几的数，最后综合练习。我把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生容易理解，比分开教还理解得清楚，学生的思维也更灵活。这是用一般教法所不能达到的，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。
2、借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力
儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要的意义。
例如：在教学长方体的认识时，我让学生用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，思考如何围成一个长方体。根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪一个实物很相似。如已知长22cm，宽8cm，高3cm，学生手势比划后说这长方体与铅笔盒很相似；又如长4cm，宽2cm，高1cm，手势比划后，想象出与一块橡皮相似等。
又如，教学求圆锥体积，推导出公式后，我引导学生这样想：底面积和高相等的圆柱与圆锥
(1)把圆锥的高升高到原来的3倍，圆柱不变。这时两者之间的体积关系怎样？
(2)把圆锥还原，而把圆柱的高升高到原来的3倍，这时，两者的体积关系怎样？
(3)把圆柱和圆锥的高同时升高到原来的3倍，它们的体积关系又怎样？
这时，学生的思维非常活跃，想象也很丰富，回答同一问题，有各种不同的思路。如第(１)题，有的同学先把升高了的圆锥想象为圆柱，那么这个想象中的圆柱体积是它左面的圆柱体积的3倍，但它是圆锥，那么体积除以三后就与旁边的圆柱体积一样大。有的学生则想到，圆锥的高扩大到3倍，利用公式推导，高扩大3倍的圆锥与原来圆柱的体积相等。
第（２）题，除了想出圆柱高是原来的3倍，体积就是圆锥的9倍外，有的学生把升高的圆柱看作3个圆柱，每个圆柱是右面圆锥的3倍，3个圆柱的体积共是9倍。学生多角度地灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化。
（二）、以数解形
有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系，以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。
如《长方体的认识》学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学《长方体的认识》一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征……，学生通过小组合作，找出长方体的特征：6个面，12条棱，8个顶点。
6个面中有两个相对的面是相等的（当有2个相对的面是正方形时，也会有4个面相等），12条棱中有4条相对的棱相等（当有2个相对的面是正方形时，有8条棱相等），学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、柱子的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉有5个面，少了上面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加上底面积等；而柱子只有4个面，求粉刷柱子的表面积，则只需要求前后左右4个面就可以了，避免了犯不必要的错误。
（三）、数形结合，为建立函数思想打好基础。
小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。为初中数学学习打好基础，如确定位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。此外，在比例教学中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现只要是成正比例关系的式子，画在坐标图中是就一条直线。从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。
总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。
二、集合思想方法
集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。
“集合思想”的渗透和应用。
例如：教学平行四边形、长方形、正方形之后，使学生明确长方形是一种特殊的平行四边形，正方形是一种特殊的长方形，用左图来表示更形象。集合的数学思想方法在小学1～6年级各阶段都有渗透。如数的整除中就渗透了子集和交集等数学思想。集合思想可使数学与逻辑更趋于统一，从而有利于数学理论与应用的研究。利用集合思想解决问题，可以防止在分类过程中出现重复和遗漏，使抽象的数学问题具体化。
三、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。
“对应思想”的渗透和应用。
在低、中年级整数应用题训练时，教师就应该让学生明白数量之间存在着一一对应的关系。例如，水果店上午卖出橘子６筐，下午又卖出同样的橘子８筐，比上午多卖100元。每筐橘子多少元？在这里存在着钱数和筐数的对应关系，学生如果能看出下午比上午多卖的100元，对应的筐数是（８－６）筐，此题就迎刃而解了。
到了高年级学分数乘除法应用题时，则要找到具体数量和分率之间的对应关系。分数应用题虽然千变万化，但万变不离其宗，找到了对应关系，也就找到了解题的关键。
四、分类思想方法
方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
“分类思想方法”的渗透和应用。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
五、极限思想方法
事物是从量变到质变的，极限思想方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。灵活的借助极限思想，可以使某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探究出解题方向或转化途径。
“极限思想方法”的渗透和应用。
在进行“圆的面积计算公式”和“圆柱的体积计算公式”的推导过程中，均采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体的体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的“极限思想”。
此外，现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 3 = 0.33…是一个循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的，而0.99……的极限就等于1；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
六、化归思想方法（转化思想方法）
“化归思维方法”的渗透和应用。
在教学平面图形的面积计算中，就以化归思想（转化思想）为理论依据，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生对面积计算的认知结构。小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等等。这些知识的学习都渗透着化归思想。
化归方法的应用
举例：
例：在假定我们已经会求矩形面积的前提下，去求解：
(1)平行四边形面积；
(2)三角形面积；
(3)多边形面积。
解(1)由于我们已经会求矩形面积，因而我们会很自然地想到用割补法把平行四边形化为与之等积的矩形。
(2)可用拼接法，把两个三角形拼成一个平行四边形，从而把问题转化为(1)的情形。
(3)可用分割法将多边形分割成若干个三角形，这样就把问题转化为题(2)的情形了。
上例中3个小题的求解过程有一个共同的特点，那就是它们都不是利用面积的最基本的概念(含单位正方形的个数)去求其面积，而都是将未解决的问题转化归结为一个已经能解决的问题，从而解答，这正是化归方法的重要特色。
七、归纳猜想思想方法
人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。
“归纳猜想思想方法”的渗透和应用。
人们在度量了很多圆的周长和直径以后，发现它们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14的猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率的数值为π，果然和3.14很接近。
“猜想方法”的应用
举例：
两个边长相等的正六边形，一个顶点在另一个的中心上，且绕着这个中心转动，求重合部分的面积是这个正六边形面积的几分之几？
分析：首先联想，两个半径相等的圆，一圆经过另一个圆的圆心，现将一圆绕另一个圆的圆心转动，显然它们重合部分的面积是不变的。
其次比较，它们相同之处都有两个完全相等的图形，且一个绕另一个的中心旋转，而不同之处：前者是圆后者是正六边形，
最后猜想，当一个正六边形绕另一个正六边形中心旋转时，其重合部分的面积是不变的。根据这一猜想，将一正六边形绕到另一个正六边形特殊位置，则容易求出其重合面积是正六边形面积的三分之一。
八、符号化思想方法
“符号思想”是数学的基本思想。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号化思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。
“符号化思想方法”的渗透和应用。
数学作为一种学科语言，是描述世界的工具，而符号能使数学研究对象更加具体、形象，能够简明地表示出事物的本质特征与规律。符号的使用在很大程度上决定着数学的发展情况，同时它具有培养人们高度抽象思维的能力。比如：小学数学书中的“简易方程”这一部分内容向学生提出用字母表示数，它的实质是一种抽象化。其目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范围内肯定数学规律的正确性。加法的交换律用a+b=b+a，圆面积用S=πr2表示等等。此外,用方程解法来解答应用题，解法的本身也蕴含着符号思想，它主要体现在如下几个方面：（1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算；（2）代数翻译，把题中自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。（3）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则运算，进而达到求解的目的。
可见，数学符号是贯穿于数学全部的支柱，数学符号凝结了特有的简洁性、抽象性和概括性，所以相对来说难以掌握和使用。作为数学教师，深入了解数学符号的思想，研究数学符号的教学，对促进数学教学、提高其教学质量具有重要意义。
九、数学模型思想方法
“数学模型思想”的渗透和应用。
例如，抽屉原理就是重要的数学模型。抽屉原理可叙述为：
如果把n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。
如果把m×n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有m+1件东西。
抽屉原理明白易懂，如能灵活运用，可以解决许多看上去很难甚至无从下手的问题。抽屉原理又称鸽笼原理，因为它是一个重要的数学模型，因此也可以称作鸽笼模型。
十、统计思想方法：
现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发芽率等等。有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。在统计里主要有两种估计方法：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数据特征(如平均数、中位数和众数)估计总体的数据特征。
小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。
“统计思想方法”的渗透和应用。
在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学；二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学。因而，统计思想在小学数学中的应用是比较广泛的。
小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重要的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。
十一、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
“比较思想方法”的渗透和应用。
乌申斯基说过：“比较是一切理解和思维的基础。”在新的课程理念指导下，如何有效的进行数学思想方法的教学，培养学生解决问题的方法，被许多教师所关注。比较的思想方法在小学数学教学和学习中有着无可替代的优越性，以下是笔者一点粗浅的经验综述。
小学数学的知识是螺旋上升的，每一个知识点在各年级都会出现，只不过对学生的学习要求不同而已。教师可以充分利用这一教学资源，引导学生在学习时进行充分的比较，以旧引新，以新固旧。
比如《方向与位置》这节内容，在二年级上册时，学生根据已有的知识经验学习了“东、南、西、北”四个方向，在二年级下册时，学生就可以根据这一经验学习“东南、东北、西南、西北”四个方向。我们在教学时，就可以引导学生进行有效的比较，得出许多宝贵的教学资源。
十二、类比思想方法
类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。数学中的许多定理、公式、法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。
“类比思想方法”的渗透和应用。
类比的种类有（1）表层类比；（2）深层类比；（3）沟通类比。表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似性所进行的类比，这种类比可靠性差，结论具有很大的或然性。深层类比是通过对被比较对象处于相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比，这种纵向类比是在数学的同一分支内的一种类比，一般表现为空间问题用平面问题来类比，高次问题用降次问题来类比，多元问题用一元问题来类比。
类比法在数学教学中的应用可以归纳为
（1）通过类比学习新知识
（2）应用类比法寻找解题思路
（3）运用类比法推广数学命题
十三、抽象和概括思想方法
抽象和概括是两种非常重要的数学方法，任何数学概念、数学命题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。
“抽象和概括思想方法”和渗透和应用。
抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。这里的关键词有两个，抽取和舍弃，抽取的是事物的本质特征，是我们要给予单独考察的。而舍弃的是事物的非本质特征。
概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。概括包含两方面，一是推广，把个别事物的某些属性推广到同类事物中去；二是总结，把同类事物的共同属性总结出来。
例如，学习“角”的概念时，就要分析组成“角”的各种特征，将非本质特征——形状、位置、角度等与本质特征——端点、射线区别开，并把本质特征抽取出来，这就是抽象过程。再通过概括，形成角的概念。“角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形”。
抽象和概括是两种不同的数学方法，抽象侧重于分析和提炼。而概括侧重于归纳和综合。但二者又有着密切的关系。抽象是概括的基础，概括是抽象的发展。
【小学数学图形与几何教材内容与数学思想方法渗透整理分析】（冀教版）
在小学数学图形与几何教学教程中感悟数学思想，积累数学活动经验。数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。如，分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
教学中注重结合具体的教学内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学经验的重要途径。
现将冀教版小学阶段图形与几何部分的教材内容及标准解读和数学思考方面进行归纳，并将其中所渗透的一些数学思想方法进行整理如下：
【课题研究的问题与思考】：
美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在小学数学教学中教师应站在数学思想方法的高度，以数学知识为载体，兼顾小学生的年龄特点，把握时机、及时渗透数学思想方法，引导学生主动运用数学思想方法的意识，促进学生学习数学知识和掌握思想方法地均衡发展，为他们日后继续学好数学打下扎实的基础。
但在教学实践研究中，我又面临着如下问题与思考：
1、在教学中，不仅要重视知识形成过程，还要十分重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。
2、对于小学生数学学习的评价、目前仍偏重于传统意义上的“双基”，体现与运用数学思想方法的数学问题偏少，不利于考察教师渗透数学思想方法的教学效果和学生的数学素养，对于学生应用数学思想方法促进数学思维活动的创新意识的评价有待于进一步的探索。
3、小学数学知识比较浅显，但蕴含着丰富的数学思想方法，如何处理好数学知识教学和思想方法渗透之间的关系，以至形成适合不同学段学生进行数学思想方法渗透的教学模式，应作深入的思考与实践。
【参考文献】
1.《义务教育数学课程标准（2011年版）》
2.《简明逻辑学》主编：孙中原王凤琴，中国展望出版社出版，1985年12月。
3.《数学思想方法》主编：顾泠沅，中央广播电视大学出版社出版，2004年08月。
4、《教育心理学》主编：斯滕博格
时
唐山市玉田县杨家套乡王会艳
【内容摘要】：在小学数学图形与几何教学教程中感悟数学思想，积累数学活动经验。数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
教学中注重结合具体的教学内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学经验的重要途径。
【关键词】：数学思想方法小学几何教学
【课题提出的背景】
随着《数学课程标准2011版》的颁布实施，全国中小学的课程改革实验又进入一个新的十年改革。将课程目标进一步概括为“四基”，即数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。将数学思想 “四基”之一，足见数学思想在数学教学活动中的重要地位。
一位数学教育家在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话：“学生们在学校所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”可见数学思想在实际生活中的重要性。
通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习的问题，增强应用数学的意识”。
在小学几何知识的教学中，重点要让学生学会运用多种感官参与获取新知识，让学生在认识几何体、理解几何知识的同时，更能完善空间观念，养成更好地学习习惯、学习兴趣、培养出创新精神以及实践能力。因此在小学几何教学中适当渗透一些数学思想方法，对于开发学生智力，培养良好的思维品质以及加强中小学数学的衔接都将是十分有益的。数学思想方法作为基本思想的形式之一，已经正式列入《课程标准》“四基”行列，它一定会成为数学教育的研究热点。鉴于此，我提出了小学几何教学中渗透数学思想方法的实践与研究这一课题，具有一定的理论价值和实践意义。
【课题界定与理论依据】
一、什么是小学数学思想方法
所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。
所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。
数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多地反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。在《数学课程标准》中，明确提出数学课程应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有：数形结合思想方法、集合思想方法、对应思想方法、分类思想方法、函数思想方法、极限思想方法、化归思维方法、归纳思想方法、符号化思想方法、数学模型思想方法、统计思想方法、假设思想方法、代换思想方法、比较思想方法、可逆思想方法、类比思想方法、转化思想方法、变中抓不变的思想方法、整体思想方法、抽象和概括思想方法等。
【研究的目标】
1.通过本课题的研究，对数学思想方法的概念有更深入的理解，明白几何课堂教学中有无渗透数学思想方法区别及优势，构建小学几何教学中渗透思想方法的新型教学模式。
2.通过本课题的研究，使广大教师在教学过程中能自觉的、系统的渗透数学思想方法，教给学生终身受益的数学精神、思想、方法，并能随时随地的发挥作用。
3.通过本课题的研究，使学生能灵活运用多种思想方法去解决问题，发展实践能力与创新精神。
4.通过本课题的研究，探索和总结出一套在小学几何教学过程中渗透数学思想方法的教学策略。
【研究内容和方法】
一、研究内容
1.数学思想方法的认识和形成的研究。
①小学阶段数学思想方法的特征研究。
②小学数学中蕴涵的常见数学思想方法的研究。
2、小学几何教学中渗透数学思想方法的实践操作研究。
①小学几何教学中数学思想方法的主要教学形态的研究。
②小学几何教学中有效渗透数学思想方法的研究。
二、研究方法
本课题研究，以教学案例观察法为主，积极探索“小学数学教学过程中渗透数学思想方法”的对策。同时在研究中还辅之以文献资料法、行动研究和经验总结法，确保本课题得以高效的实施。
1、文献资料法
通过搜索网络、理论专著和报刊资料，借鉴相关理论资料，寻求理论支撑，指导本课题的研究。
2、教学案例观察法
实施课堂观察，针对学生在课堂学习中经历知识形成过程方面存在的问题，进行罗列、分析情况，撰写报告。并根据调查结果提出改进的措施。
3、行动研究法。
研究中加强与教学行为的结合，明确改进措施时，及时组织教学应用，考察本课题的实践效果。
4、经验总结法
通过长期坚持的研究实践，及时地总结经验，以期形成科学的教学认知理论体系，弥补教学工作中的不足，以利于促进小学几何教学和教研工作更有成效。
【研究过程】
| 序号 |
研究步骤（起止时间） |
过 程 |
承担人 |
| 1 |
准备阶段（2013.7-2013.8） |
拟定课题研究目标与计划 |
王会艳 |
| 2 |
研究实施阶段（2013.8－2013.12） |
理论学习，实施课题研究 |
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| 3 |
完善深化阶段（2013.12－2014.1） |
进行研究反思，完善研究计划 |
|
| 4 |
撰写论文总结成果阶段（2014.1－2014.2） |
撰写课题报告、论文，进行成果汇报 |
【课题研究的结果分析】
一、数形结合思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。
“数形结合思想方法”的渗透和应用。
（一）、以形助数
根据数学问题中“数”的结构，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征、规律来研究解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字计算。在这里我们暂且称之为“以形助数”，指在我们数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法，以便于我们对其进行分析和理解。 “以形助数” 中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形；则可另行构造或联想。因此“以形助数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。而小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？请看：
1、用图形的直观帮助学生理解数量关系，提高教学效率。
用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几(少几)”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，可以设计成下面的图形：
结合黑板上的实物图形，让学生说：有6个□，△的个数比□的3倍还多4个；也可以说：有6个□，△的个数比□的4倍少2个；
接着，出示下面的问题：
(1)□有6个，△比□的3倍多4个，△有多少个？
算式：6×3＋4=22（个）
(2)□有6个，△比□的4倍少2个，△有多少个？
算式：6×4-2=22(个)
比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或减去跟整倍相差的数。
这一段教材，一般的教法是：先教求比一个数的几倍多几的数，再教求比一个数的几倍少几的数，最后综合练习。我把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生容易理解，比分开教还理解得清楚，学生的思维也更灵活。这是用一般教法所不能达到的，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。
2、借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力
儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要的意义。
例如：在教学长方体的认识时，我让学生用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，思考如何围成一个长方体。根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪一个实物很相似。如已知长22cm，宽8cm，高3cm，学生手势比划后说这长方体与铅笔盒很相似；又如长4cm，宽2cm，高1cm，手势比划后，想象出与一块橡皮相似等。
又如，教学求圆锥体积，推导出公式后，我引导学生这样想：底面积和高相等的圆柱与圆锥
(1)把圆锥的高升高到原来的3倍，圆柱不变。这时两者之间的体积关系怎样？
(2)把圆锥还原，而把圆柱的高升高到原来的3倍，这时，两者的体积关系怎样？
(3)把圆柱和圆锥的高同时升高到原来的3倍，它们的体积关系又怎样？
这时，学生的思维非常活跃，想象也很丰富，回答同一问题，有各种不同的思路。如第(１)题，有的同学先把升高了的圆锥想象为圆柱，那么这个想象中的圆柱体积是它左面的圆柱体积的3倍，但它是圆锥，那么体积除以三后就与旁边的圆柱体积一样大。有的学生则想到，圆锥的高扩大到3倍，利用公式推导，高扩大3倍的圆锥与原来圆柱的体积相等。
第（２）题，除了想出圆柱高是原来的3倍，体积就是圆锥的9倍外，有的学生把升高的圆柱看作3个圆柱，每个圆柱是右面圆锥的3倍，3个圆柱的体积共是9倍。学生多角度地灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化。
（二）、以数解形
有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系，以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。
如《长方体的认识》学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学《长方体的认识》一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征……，学生通过小组合作，找出长方体的特征：6个面，12条棱，8个顶点。
6个面中有两个相对的面是相等的（当有2个相对的面是正方形时，也会有4个面相等），12条棱中有4条相对的棱相等（当有2个相对的面是正方形时，有8条棱相等），学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、柱子的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉有5个面，少了上面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加上底面积等；而柱子只有4个面，求粉刷柱子的表面积，则只需要求前后左右4个面就可以了，避免了犯不必要的错误。
（三）、数形结合，为建立函数思想打好基础。
小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。为初中数学学习打好基础，如确定位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。此外，在比例教学中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现只要是成正比例关系的式子，画在坐标图中是就一条直线。从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。
总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。
二、集合思想方法
集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。
“集合思想”的渗透和应用。
三、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。
“对应思想”的渗透和应用。
在低、中年级整数应用题训练时，教师就应该让学生明白数量之间存在着一一对应的关系。例如，水果店上午卖出橘子６筐，下午又卖出同样的橘子８筐，比上午多卖100元。每筐橘子多少元？在这里存在着钱数和筐数的对应关系，学生如果能看出下午比上午多卖的100元，对应的筐数是（８－６）筐，此题就迎刃而解了。
到了高年级学分数乘除法应用题时，则要找到具体数量和分率之间的对应关系。分数应用题虽然千变万化，但万变不离其宗，找到了对应关系，也就找到了解题的关键。
四、分类思想方法
方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
“分类思想方法”的渗透和应用。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
五、极限思想方法
事物是从量变到质变的，极限思想方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。灵活的借助极限思想，可以使某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探究出解题方向或转化途径。
“极限思想方法”的渗透和应用。
在进行“圆的面积计算公式”和“圆柱的体积计算公式”的推导过程中，均采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体的体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的“极限思想”。
此外，现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 3 = 0.33…是一个循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的，而0.99……的极限就等于1；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
六、化归思想方法（转化思想方法）
“化归思维方法”的渗透和应用。
在教学平面图形的面积计算中，就以化归思想（转化思想）为理论依据，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生对面积计算的认知结构。小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等等。这些知识的学习都渗透着化归思想。
化归方法的应用
举例：
例：在假定我们已经会求矩形面积的前提下，去求解：
(1)平行四边形面积；
(2)三角形面积；
(3)多边形面积。
解(1)由于我们已经会求矩形面积，因而我们会很自然地想到用割补法把平行四边形化为与之等积的矩形。
(2)可用拼接法，把两个三角形拼成一个平行四边形，从而把问题转化为(1)的情形。
(3)可用分割法将多边形分割成若干个三角形，这样就把问题转化为题(2)的情形了。
上例中3个小题的求解过程有一个共同的特点，那就是它们都不是利用面积的最基本的概念(含单位正方形的个数)去求其面积，而都是将未解决的问题转化归结为一个已经能解决的问题，从而解答，这正是化归方法的重要特色。
七、归纳猜想思想方法
人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。
“归纳猜想思想方法”的渗透和应用。
人们在度量了很多圆的周长和直径以后，发现它们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14的猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率的数值为π，果然和3.14很接近。
“猜想方法”的应用
举例：
两个边长相等的正六边形，一个顶点在另一个的中心上，且绕着这个中心转动，求重合部分的面积是这个正六边形面积的几分之几？
分析：首先联想，两个半径相等的圆，一圆经过另一个圆的圆心，现将一圆绕另一个圆的圆心转动，显然它们重合部分的面积是不变的。
其次比较，它们相同之处都有两个完全相等的图形，且一个绕另一个的中心旋转，而不同之处：前者是圆后者是正六边形，
最后猜想，当一个正六边形绕另一个正六边形中心旋转时，其重合部分的面积是不变的。根据这一猜想，将一正六边形绕到另一个正六边形特殊位置，则容易求出其重合面积是正六边形面积的三分之一。
八、符号化思想方法
“符号思想”是数学的基本思想。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号化思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。
“符号化思想方法”的渗透和应用。
数学作为一种学科语言，是描述世界的工具，而符号能使数学研究对象更加具体、形象，能够简明地表示出事物的本质特征与规律。符号的使用在很大程度上决定着数学的发展情况，同时它具有培养人们高度抽象思维的能力。比如：小学数学书中的“简易方程”这一部分内容向学生提出用字母表示数，它的实质是一种抽象化。其目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范围内肯定数学规律的正确性。加法的交换律用a+b=b+a，圆面积用S=πr2表示等等。此外,用方程解法来解答应用题，解法的本身也蕴含着符号思想，它主要体现在如下几个方面：（1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算；（2）代数翻译，把题中自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。（3）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则运算，进而达到求解的目的。
可见，数学符号是贯穿于数学全部的支柱，数学符号凝结了特有的简洁性、抽象性和概括性，所以相对来说难以掌握和使用。作为数学教师，深入了解数学符号的思想，研究数学符号的教学，对促进数学教学、提高其教学质量具有重要意义。
九、数学模型思想方法
“数学模型思想”的渗透和应用。
例如，抽屉原理就是重要的数学模型。抽屉原理可叙述为：
如果把n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。
如果把m×n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有m+1件东西。
抽屉原理明白易懂，如能灵活运用，可以解决许多看上去很难甚至无从下手的问题。抽屉原理又称鸽笼原理，因为它是一个重要的数学模型，因此也可以称作鸽笼模型。
十、统计思想方法：
现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发芽率等等。有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。在统计里主要有两种估计方法：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数据特征(如平均数、中位数和众数)估计总体的数据特征。
小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。
“统计思想方法”的渗透和应用。
在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学；二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学。因而，统计思想在小学数学中的应用是比较广泛的。
小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重要的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。
十一、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
“比较思想方法”的渗透和应用。
乌申斯基说过：“比较是一切理解和思维的基础。”在新的课程理念指导下，如何有效的进行数学思想方法的教学，培养学生解决问题的方法，被许多教师所关注。比较的思想方法在小学数学教学和学习中有着无可替代的优越性，以下是笔者一点粗浅的经验综述。
小学数学的知识是螺旋上升的，每一个知识点在各年级都会出现，只不过对学生的学习要求不同而已。教师可以充分利用这一教学资源，引导学生在学习时进行充分的比较，以旧引新，以新固旧。
比如《方向与位置》这节内容，在二年级上册时，学生根据已有的知识经验学习了“东、南、西、北”四个方向，在二年级下册时，学生就可以根据这一经验学习“东南、东北、西南、西北”四个方向。我们在教学时，就可以引导学生进行有效的比较，得出许多宝贵的教学资源。
十二、类比思想方法
类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。数学中的许多定理、公式、法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。
“类比思想方法”的渗透和应用。
类比的种类有（1）表层类比；（2）深层类比；（3）沟通类比。表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似性所进行的类比，这种类比可靠性差，结论具有很大的或然性。深层类比是通过对被比较对象处于相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比，这种纵向类比是在数学的同一分支内的一种类比，一般表现为空间问题用平面问题来类比，高次问题用降次问题来类比，多元问题用一元问题来类比。
类比法在数学教学中的应用可以归纳为
（1）通过类比学习新知识
（2）应用类比法寻找解题思路
（3）运用类比法推广数学命题
十三、抽象和概括思想方法
抽象和概括是两种非常重要的数学方法，任何数学概念、数学命题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。
“抽象和概括思想方法”和渗透和应用。
抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。这里的关键词有两个，抽取和舍弃，抽取的是事物的本质特征，是我们要给予单独考察的。而舍弃的是事物的非本质特征。
概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。概括包含两方面，一是推广，把个别事物的某些属性推广到同类事物中去；二是总结，把同类事物的共同属性总结出来。
例如，学习“角”的概念时，就要分析组成“角”的各种特征，将非本质特征——形状、位置、角度等与本质特征——端点、射线区别开，并把本质特征抽取出来，这就是抽象过程。再通过概括，形成角的概念。“角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形”。
抽象和概括是两种不同的数学方法，抽象侧重于分析和提炼。而概括侧重于归纳和综合。但二者又有着密切的关系。抽象是概括的基础，概括是抽象的发展。
【小学数学图形与几何教材内容与数学思想方法渗透整理分析】（冀教版）
在小学数学图形与几何教学教程中感悟数学思想，积累数学活动经验。数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。如，分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
教学中注重结合具体的教学内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学经验的重要途径。
现将冀教版小学阶段图形与几何部分的教材内容及标准解读和数学思考方面进行归纳，并将其中所渗透的一些数学思想方法进行整理如下：
| 图形与几何部分的教材内容 |
图形与几何课程内容标准的体现 |
数学思考 关于课程目标的体现 |
关于数学思想方法渗透的体现 |
|
| 一年级上册 |
1、前、后、左、右。 2、高矮、长短、大小、轻重。 3、认识立体图形。 |
◆图形的认识 1、通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。 2、能对简单几何体进行分类。 |
１、能用20以内的数描述现实生活中的简单现象，在估计、猜数等活动中发展数感。 ２、在从具体物体中抽象出几何体，搭积木等过程，发展空间观念。 ３、在观察、操作等活动的基础上，能发现简单事物的规律。 ４、能自主尝试，独立思考问题，会表达自己的想法。 |
数形结合思想 分类思想 集合思想 对应思想 符号化思想 |
| 一年级下册 |
1、前后、左右、上下相对位置。 2、认识平面图形。 |
空间与几何 ◆图形的认识 1、辨认长方形、正方形、三角形、圆等简单图形。 2、会用长方形、正方形、三角形、圆拼图。 3、能对简单几何图形进行分类。 4、辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。 ◆图形与位置 5、会用上下、左右、前后描述物体的相对位置。 |
１、能用100以内的数描述日常生活中的简单现象,能运用生活经验,说明熟悉事物中有关的数字信息。 ２、在对简单图形的形状，大小和物体位置关系的探索中，培养初步的空间观念。 ３、在教师帮助下学会对有用的信息进行整理。 ４、在解决问题的过程中有自己的想法。 |
数形结合思想 对应思想 符号化思想 分类思想 转化思想 |
| 二年级上册 |
1、观察物体。 2、角的认识。 |
空间与图形 ◆图形的认识 1、结合生活情境认识角，能辩认直角、锐角和钝角，会在方格纸上画直角。 ◆测量 2、结合实际，经历用不同方式测量物体长度的过程。在测量活动中，体会建立统一度量单位的重要性。 3、在实践活动中，体会米、厘米的含义，知道分米，会恰当地选择长度单位。 4、能估计一些物体的长度，并进行测量。 ◆图形与位置 5、在东、南、西、北这四个方向中，给定一个方向，辨认其余三个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。 |
１、能运用生活经验对有关数字信息作出解释，并初步学会用数描述现实世界中的简单现象。 ２、在对方向与位置、角和直角的认识中，培养初步的空间观念。 ３、学会选择合适的方法对有关信息进行整理，学会简单的归纳。 ４、在解决问题的过程中能进行简单的、有条理的思考。 |
分类思想 归纳思想 符号化思想 转化思想 |
| 二年级下册 |
1、测量：米、分米、厘米。 2、四边形的认识。 |
空间与图形 ◆图形的认识 1、认识长方形和正方形，会辨认平行四边形。 2、通过观察、操作、测量能用自己的语言描述长方形、正方形的一些特征。 3、能利用七巧板中的图形拼图。 ◆图形与位置 4、辨认从上面、正面、侧面观察到的简单物体的形状。 ◆图形与变换 5、在东、南、西、北和东北、西北、西南、东南中，给定一个方向（东、南、西或北）辨认其余七个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向，会看简单的线路图。 |
１、能用千以内的数描述现实世界中的简单现象，并对有有关数字信息作出解释。 ２、在对简单图形的形状、大小和物体位置关系的探索中发展初步的空间观念。 ３、在教师帮助下对熟悉的数据进行简单的归纳和类比。 ４、在解决问题的过程中能进行简单的、有条理的思考。 |
数形结合思想 归纳思想 类比思想 几何变换思想 分类思想 |
| 三年级上册 |
1、图表的运动。 2、长方形和正方形的周长。 |
空间与图形 ◆测量 1、指出并能测量长方形、正方形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。 ◆图形与变换 2、结合实例，感知对称现象，通过观察操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单的轴对称图形。 |
１、能用万以内的数或分数描述现实生活中的事物，能运用生活经验对有关数字信息作出解释。 ２、在对轴对称图形的形状和长方形周长公式的探索中，发展空间观念。 ３、在教师帮助下，初步学会选择有用的信息进行简单的。 ４、在解决问题的过程中能进行简单、有条理的思考。 |
数形结合思想 归纳思想 几何变换思想 分类思想 化归思想 集合思想 比较思想 符号化思想 |
| 三年级下册 |
1、辨认方向。 2、千米和毫米。 3、长方形和正方形的面积。 |
空间与图形 ◆测量 1、在测量活动中，进一步体验建立统一度量单位的重要性。 2、在实践活动中体会千米的含义，知道毫米，会进行简单的单位换算，会恰当地选择长度单位。 3、结合实例认识面积的含义，能用自选的单位估计和测量图形的面积，体会并认识面积单位（平方米、平方分米、平方厘米），会进行简单的单位换算。 4、探索并掌握长方形、正方形的面积公式，能估计给定的长方形、正方形的面积。 ◆图形与变换 5、结合实例感知平移和旋转现象。 6、能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。 |
１、能用语言和数描述现实世界中的简单现象。 ２、在对平移、旋转现象的认识和长方形、正方形面积公式的探索过程中，发展空间观念。 ３、初步学会选择有用的信息进行简单的归纳和类比。 ４、在解决问题的过程中能进行有条理的思考。 |
对应思想 数形结合思想 归纳思想 类比思想 几何变换思想 建模思想 转化思想 |
| 四年级上册 |
1、认识直线、线段、射线。 2、认识周角、平角、区分角的大小。 3、学会测量角的度数。 4、升、毫升。 |
空间与图形 ◆图形的认识 1、了解两点确定一条直线和两条直线确定一个点。 2、能区分直线、线段和射线。 3、体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。 4、知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。 5、结合生活情境，了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）的关系。 ◆测量 6、会用量角器量指定角的度数，会画指定度数的角，会用三角板画30°、45°、60°、90°的角。 7、了解容积单位“升”和“毫升”，知道1升=1000毫升。 |
１、能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数描述并解决现实世界中的简单问题。 ２、在对图形位置关系的认识过程中，发展初步的空间观念。 ３、能根据解决问题的需要收集有用的信息，并进行简单的归纳、分析和整理。 ４、在解决问题的过程中，能进行有条理的思考。 |
归纳思想 分类思想 符号化思想 |
| 四年级下册 |
1、三角形、平行四边形、梯形。 2、三角形的种类，内角和。 3、辨认不同方向的物体图像。 |
空间与图形 ◆图形的认识 1、通过观察、操作、认识三角形、平行四边形和梯形，认识组合图形。 2、通过观察、操作、了解三角形任意两边之和大于第三边，三角形的内角和是 180°。 3、认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。 4、能辨认从不同方向看到的物体图像和图形。 |
１、能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数、字母和图表描述并解决现实世界中的简单问题。 ２、在探索物体的位置关系、平面图形特征的过程中，进一步发展空间观念。 ３、能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳和分析，发展初步的合理推理能力。 ４、在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。 |
对应思想 比较思想方法 符号化思想 归纳思想 转化思想 分类思想 |
| 五年级上册 |
1、公顷和平方千米。 2、三角形、平行四边形、梯形的面积。 3、轴对称图形、平移、旋转。 |
空间与图形 ◆测量 1、认识面积单位“公顷”和“平方千米”，会进行简单的单位换算。 2、利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。 ◆图形与变换 3、用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格上画出一个图形的轴对称图形。 4、通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转 90°。 ５、欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。 |
１、能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数和图表描述并解决现实世界中的简单问题。 ２、在探索图形面积公式，图形的变换以及设计图案过程中，进一步发展空间观念。 ３、在对事件发生的可能性进行判断的过程中，发展初步的合情推理能力。 ４、在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能选择合理的解决方法，能对结论的合理性作出有说服力的说明。 |
数形结合思想 对应思想 几何变换思想 化归思（即转化思想） 符号化思想 模型化思想 几何变换 |
| 五年级下册 |
1、长方体、正方体展开图。 2、容积。 3、长方体、正方体体积。 4、方向、角度描述物体位置。 |
空间与图形 ◆图形的认识 １、通过观察、操作、认识长方体和正方体，认识长方体和正方体的展开图。 ◆测量 ２、通过实例，了解体积（包括容积）的意义及度量单位（立方米、立方分米、立方厘米），感受１立方米、１立方厘米以及１升，１毫升的实际意义。 ３、结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积的计算方法。 |
１、能对现实生活中负数和统计数据等信息作出合理的解释，会用负数和图表描述现实世界中的简单问题。 ２、在探索立体图形特征和图形关系，建立体积单位的过程中，发展空间观念。 ３、能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳分析和预测，发展初步的合情推理能力。 ４、在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。 |
对应思想 归纳思想 几何变换思想 转化思想 数形结合思想 符号化思想 模型化思想 |
| 六年级上册 |
1、圆、扇形。 2、圆的周长、面积。 3、图形的放大、缩小。 4、比例尺。 |
空间与图形 ◆图形的认识 １、通过观察、操作、认识扇形。 ◆测量 ２、探索并掌握圆的周长和面积公式。 ◆图形与变换 ３、能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。 ◆图形与位置 ４、了解比例尺，在具体情境中会按给定的比例进行图上距离实际距离的换算。 |
１、能对现实生活中的数字信息作出合理的解释，会用比、比例、百分数或图表描述并解决现实世界中的简单问题。 ２、在探索图形特征和图形转化过程中，进一步发展空间观念。 ３、能根据现实生活中的有用信息，进行归纳与猜测，发展初步的合情推理能力。 ４、在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。 |
归纳思想 类比思想 极限思想 转化思想 模型化思想 几何变换思想 转化思想 数形结合思想 符号化思想 |
| 六年级下册 |
1、方向和距离确定物体位置，数对。 2、圆柱、圆锥的表面积、体积。 3、测量土豆体积。 |
空间与图形 ◆图形的认识 1、通过观察、操作认识圆柱和圆锥，认识圆柱的展开图。 ◆测量 2、探索某些实物体积的测量方法。 3、结合具体情境，探索并掌握圆柱的体积和表面积、圆锥体积的计算方法。 ◆图形与位置 4、能根据方向和距离确定物体的位置。 5、在具体情境中，能用数对来表示位置，并能在方格纸上用数对确定位置。 |
1、在探索圆柱的展开图、圆柱和圆锥体积公式以及物体方向与位置的过程中，发展空间观念。 2、能对现实生活中具有正比例、反比例的量作出解释，会用比例或图描述现实世界中的简单问题。 3、根据解决问题的需要，对收集到的信息进行类比与猜测，发展初步的合情推理能力。 4、在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。 |
对应思想 数形结合思想 类比思想 归纳思想 模型化思想 符号化思想 极限思想 转化思想 几何变换思想 |
美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在小学数学教学中教师应站在数学思想方法的高度，以数学知识为载体，兼顾小学生的年龄特点，把握时机、及时渗透数学思想方法，引导学生主动运用数学思想方法的意识，促进学生学习数学知识和掌握思想方法地均衡发展，为他们日后继续学好数学打下扎实的基础。
但在教学实践研究中，我又面临着如下问题与思考：
1、在教学中，不仅要重视知识形成过程，还要十分重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。
2、对于小学生数学学习的评价、目前仍偏重于传统意义上的“双基”，体现与运用数学思想方法的数学问题偏少，不利于考察教师渗透数学思想方法的教学效果和学生的数学素养，对于学生应用数学思想方法促进数学思维活动的创新意识的评价有待于进一步的探索。
3、小学数学知识比较浅显，但蕴含着丰富的数学思想方法，如何处理好数学知识教学和思想方法渗透之间的关系，以至形成适合不同学段学生进行数学思想方法渗透的教学模式，应作深入的思考与实践。
【参考文献】
1.《义务教育数学课程标准（2011年版）》
2.《简明逻辑学》主编：孙中原王凤琴，中国展望出版社出版，1985年12月。
3.《数学思想方法》主编：顾泠沅，中央广播电视大学出版社出版，2004年08月。
4、《教育心理学》主编：斯滕博格