Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？并且如何理解 Black-Scholes 模型
2014-02-06 17:05阅读：
对于第一个问题，我们先来看看BS模型是怎么推导出来的。
推导BS模型对于数学的要求比较高，本文将略过较“数学化”的证明，仅写出这些内容的用法、结论和意义。
推导前应该知道的知识：
- 鞅(martingale)：在风险中性测度下，股票的折现价值为鞅。你只需知道
![E\left( e^{-(r-\delta )t}S_{T} \right) =S_{0}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
对任意时刻都成立，r是利润率， δ是股票分红， ![S_{t}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
是股票在t时刻的价格。
- 随机微积分(Itō calculus)：
![df(t,W(t))=\left( \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W^2} \right) dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
，W(t)是布朗运动。（仅把它当做一种计算方式）
现在我们开始推导
BS模型下的股票价格。
BS模型假设股票价格符合以下随机微分方程：
![d S_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S_{t} dW_{t}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>")
是怎么得到的？并且如何理解
Black-Scholes
模型' />.
由随机微积分，解出
![S_{t}=S_{0}e^{\left[ \left( \mu -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma W_{t} \right] }]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
.（感兴趣的同学可以对其微分验证一下）
再由鞅的性质
![E\left( e^{-(r-\delta )t}S_{T} \right) =S_{0}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
，解出
.
所以，BS模型下股票的价格服从
![S_{t}=S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma W_{t} \right] }]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
.
接下来就是
推导期权价格了，本文将仅推导看涨期权(Call Opiton)，看跌期权类似。
- 在风险中性测度下，看涨期权的价格为
![E(e^{-rt}\times (S_{t}-K)_{+})]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
，其中 ![(X)_{+}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
在X>0时为X，其余为0.
![W_{t}\sim N(0,t)]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
,所以
![W_{t}=\sqrt{t} \times N(0,1)=\sqrt{t}\times x]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
（这里写得在数学上不太严谨，不过直觉上理解没问题）
所以期权价格就是 ![E(e^{-rt}\times (S_{t}-K)_{+})=\int_{-\infty }^{\infty } e^{-rt}\times(S_{t}-K)_{+} \varphi (x)dx=\int_{-\infty }^{\infty } e^{-rt}\times(S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma \sqrt{t} x \right] }-K)_{+} \varphi (x)dx]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
,
 "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
是标准正态分布。
接下来的事情有点复杂，我们整理一下思路。
- 首先，我们要去掉
![(X)_{+}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
，想把它变为正常运算。
- 去掉后，我们要证明前半部分(含S)的项是
![e^{-\delta t}S\times N(d_{1})]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
，后半部分(含K)的项是 ![-e^{-rt}K\times N(d_{2})]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
只有t时刻股票价格高于K才不为0，所以积分区间可以转变为
![S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma \sqrt{t}x \right] }>K \Rightarrow x>\frac{ln(K/S_{0})-( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2})}{\sigma \sqrt{t} } =-d_{2}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
（
d2出现了）
因此，
![E(e^{-rt}\times (S_{t}-K)_{+})=\int_{-d2 }^{\infty } e^{-rt}\times(S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma \sqrt{t}x \right] }-K) \varphi (x)dx]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
.
积分右半边就没有问题了，
![\int_{-d2 }^{\infty } e^{-rt}-K \varphi (x)dx=-e^{-rt}K\times N(d_{2})]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
至于左半边，我们用配方法，把对x的积分转变为对
![x-\sigma \sqrt{t}]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
的积分，就可以得到新的积分区间
![(-d_{2}-\sigma \sqrt{t} ,\infty )=(-d_{1},\infty)]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
（
d1出现了）
积分左半边也是相同的道理，
![\int_{-d_2 }^{\infty } e^{-rt}\times S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma \sqrt{t}x \right] } \varphi (x)dx=\int_{-d_{1} }^{\infty } e^{-\delta t}S \varphi (x)dx=e^{-\delta t}S\times N(d_{1})]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
.
于是我们就得到了BS公式： ![C=e^{-\delta t}S\times N(d_{1})-e^{r t}K\times N(d_{2})]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
.
对于第二个问题，我们思考d1和d2的意义。
N(d2)是
在风险中性测度下，期权被执行的概率。
这点应该很容易理解，毕竟在上述积分推导中，当我们要求St>K时，我们就推出x>-d2。x是标准正态分布，所以St>K的可能性就是N(d2)
关键在于如何理解N(d1)。
在BS后续讨论中，我们讨论到一个重要希腊字母——△(delta).
![\Delta =\frac{\partial C}{\partial S} =N(d_1)]( "Black-Scholes <wbr>模型中 <wbr>d1，d2 <wbr>是怎么得到的？并且如何理解 <wbr>Black-Scholes <wbr>模型")
.(对于没有分红的情况),△衡量了当股票价格有小变动时期权价格变化。
delta在后面有很重要的意义，但是我在此就不赘述了。
总的来说，
d1描述期权对股价的敏感程度，d2描述期权最后被执行的可能性。
更深一步来说，
N(d1)是在风险中性测度下，按股价加权得到的期权被执行的可能性，N(d2)是在风险中性条件下，（不按股价加权）得到的期权被执行的可能性。
— 完 —
本文作者：Zenjo Yao
【知乎日报新版上架】无网络也能点收藏，举报评论功能新鲜开启，将精彩长评优先展示， 点此立刻更新~
此问题还有 1 个回答，查看全部。
延伸阅读：
基金定投与银行理财产品的收益和风险如何？
CFA （Chartered Financial Analyst） 和 CIIA （Certified International
Investment Analyst）的区别是什么？
知乎每日精选
转载请注明：
福州家教网http://www.fzsdjj.com/
相关博文推荐：
