极限的局部保号性和非局部保号性分析

极限是高等数学中最基本的概念和工具，其它很多重要概念和运算都是由极限引导出来的，如导数的概念、定积分和重积分的概念、无穷级数的运算等，另外，极限本身也是一个重要考点，在每年的考研数学试题中经常有十多分的题目。在极限的各种性质中，极限的保号性是一个非常有用的性质，但一些同学对它理解得不透，解题时不会使用，下面蔡老师对极限的保号性做些分析总结，供大家参考。
一、函数极限的局部保号性和非局部保号性
1、函数极限的局部保号性是指：若（或），则存在正数，使得当时，有（或）.
2.函数极限的非局部保号性是指：若（或），则存在正数，使得当时，有（或）.
对于或的极限也有与上类似的结论。
非局部保号性是相对于局部保号性而言的，局部保号性是在某个点的去心邻域内保号，而非局部保号性是在一个无穷区间上保号，所以可称之为“非局部”。
二、数列极限的保号性
数列极限的保号性是指：若（或），则存在正整数，使得当时，有（或）.
如果将数列视为一种函数，即定义，则数列的保号性就类似于函数的非局部保号性。
三、极限的增强保号性
函数极限的增强保号性是指：若（或），则对于任何，存在常数，使得当时，有（或）.
证：若，则，根据局部保号性得，存在，使得当时，有，于是.
的情况也类似可证。
对于（或）以及数列极限（或）的情形，也有与上类似的增强保号性。
四、典型题型分析
例1.设函数在上连续，且，证明：存在，使得.
证：设，则由得，由极限的保号性得，存在正数，使得当时，有，
取，则，于是；
再取，则，于是；
根据零点定理得，存在，使得，即.
例2.设具有二阶连续导数，且，，则（ ）
(A)是的极大值 (B)是的极小值
(C)是曲线的拐点 (D)不是极值，也不是拐点
解：&#875