逻辑学悖论之二：逻辑公理体系
现代逻辑学至少有两个公理体系。这两个公理体系分别证明了一组专用的规则不可用于另一个公理体系。这两组规则都被称为“逻辑规则”。将亚里士多德三段论用形式语言表示，这是第三组逻辑规则。除了在三组逻辑规则之外，现代逻辑学认为还有模态逻辑，又是一组逻辑规则。这些逻辑规则足够了吗？不一定，逻辑学家还在创造更多的“XX逻辑”。到底有多少组相互不可交换使用的逻辑规则？连逻辑学家都不知道。数学中也许还有更多的公理体系，它们分别使用不同是形式语言，各自也有自己的演算规则。这些数学公理体系中的演算规则和被称为“逻辑公理体系”中的演算规则同样不可交替使用。逻辑学家有什么理由认为仅仅适用于无数公理体系中的某一个公理体系的演算规则是“逻辑规则”，而同样是适用于某特定符号演算体系的那些规则不是逻辑规则？
逻辑方法适用于所有的数学公理体系，但逻辑学家所说的逻辑规则仅仅适用于某一特定的符号演算体系。于是逻辑学理论又出现了悖论。
这里讨论“真值函项理论”或者叫做“命题逻辑公理体系”。所谓“命题逻辑公理体系”其实就是布尔演算体系。布尔演算体系和其它数学公理体系一样，都使用逻辑方法，即使用逻辑规则。布尔演算体系也和其它数学公理体系一样，都不是“逻辑公理体系”。
希尔伯特说的很清楚，所谓命题逻辑公理体系是用重言式命题作公理，并以重言式命题作演算规则来证明一个命题是不是重言式命题的公理体系。
这个公理体系非常可疑。
首先这个公理体系本身是一个自我循环的公理体系。不同的逻辑学家为这同一个公理体系设立的公理完全不同，原因非常简单，因为这些所谓的公理其实也都是可证命题。换句话说，这个所谓公理体系的公理是任意的，且公理和定理是可以相互替换的。这一定是一个假公理体系，因为这些公理不可能满足“独立性条件”。不满足独立性条件的命题集合不可能构成一组公理，这也就是为什么逻辑学家要证明自己的公理“满足独立性条件”且宣布自己已经证明了这些公理满足独立性条件。但这是不可能的。
现代逻辑学至少有两个公理体系。这两个公理体系分别证明了一组专用的规则不可用于另一个公理体系。这两组规则都被称为“逻辑规则”。将亚里士多德三段论用形式语言表示，这是第三组逻辑规则。除了在三组逻辑规则之外，现代逻辑学认为还有模态逻辑，又是一组逻辑规则。这些逻辑规则足够了吗？不一定，逻辑学家还在创造更多的“XX逻辑”。到底有多少组相互不可交换使用的逻辑规则？连逻辑学家都不知道。数学中也许还有更多的公理体系，它们分别使用不同是形式语言，各自也有自己的演算规则。这些数学公理体系中的演算规则和被称为“逻辑公理体系”中的演算规则同样不可交替使用。逻辑学家有什么理由认为仅仅适用于无数公理体系中的某一个公理体系的演算规则是“逻辑规则”，而同样是适用于某特定符号演算体系的那些规则不是逻辑规则？
逻辑方法适用于所有的数学公理体系，但逻辑学家所说的逻辑规则仅仅适用于某一特定的符号演算体系。于是逻辑学理论又出现了悖论。
这里讨论“真值函项理论”或者叫做“命题逻辑公理体系”。所谓“命题逻辑公理体系”其实就是布尔演算体系。布尔演算体系和其它数学公理体系一样，都使用逻辑方法，即使用逻辑规则。布尔演算体系也和其它数学公理体系一样，都不是“逻辑公理体系”。
希尔伯特说的很清楚，所谓命题逻辑公理体系是用重言式命题作公理，并以重言式命题作演算规则来证明一个命题是不是重言式命题的公理体系。
这个公理体系非常可疑。
首先这个公理体系本身是一个自我循环的公理体系。不同的逻辑学家为这同一个公理体系设立的公理完全不同，原因非常简单，因为这些所谓的公理其实也都是可证命题。换句话说，这个所谓公理体系的公理是任意的，且公理和定理是可以相互替换的。这一定是一个假公理体系，因为这些公理不可能满足“独立性条件”。不满足独立性条件的命题集合不可能构成一组公理，这也就是为什么逻辑学家要证明自己的公理“满足独立性条件”且宣布自己已经证明了这些公理满足独立性条件。但这是不可能的。