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11的倍数特征

2016-06-03 16:32阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/5673529386

11的倍数特征 有人问我两道题，如上。关于倍数的知识，我记得是在五年级开始学习的。前年暑假放假前，我得知被分配要教五年级，于是在暑假做了些准备。但课本上出现只有比较简单的2，3，5之类的，这第一道题要被11整除，是我没有思考过的。
我拿起笔开始算，从前面看，从后面看，算一算，根据“正好整除”这个信息，很快解决了；做完以后，再来看第二题，发现麻烦了很多，于是我把两个空的数字，分别设为a，b。“被99整除”意味着既要满足“被11和9整除”，所以我想到：
∵这个数被9整除
∴6+2+8+a+b+1+7=24+a+b是9的倍数
6+a+b是9的倍数，a+b＝3，12
∵这个数被11整除
∴628÷11＝57……1，17÷11＝1……6
1ab06被11整除
算到这里，这个方法我觉得应该行得通，继续往下面算，把数字分解，当然，最后我算出了答案，写了一页纸，还分情况讨论。
竹林问我，有没有更简单的方法。我承认，我的方法确实太麻烦了！如果通过倍数特征来判断，应该很简单。2，3，5的倍数特征很简单，其他的数字比如7，11的倍数特征，我一直记不下来，更谈不上应用。竹林鼓励我自己探索一下。在竹林的提示下，我想到用二项式分解的方法。
设任意一个数为k0+k1·101+k2·102+……+kn·10n
那么
k0+k1·101+k2·102+……+kn·10n
=k0+k1·（11-1）1+k2·（11-1）2+……+kn·（11-1）n
≡k0+k1·（-1）1+k2·（-1）2+……kn·（-1）n
突然我一下明白了，把628ab17代入，7-1+b-a+8-2+6是11的倍数，即7+b-a是11的倍数，b-a＝4。
综合两个条件，b-a＝4，a+b＝12（因为ab同奇同偶），所以a＝4，b＝8。
用二项式展开的方法，其实非常容易得到11的倍数特征：把这个数的所有奇数位数字和减去所以偶数位数字和，如果是11的倍数，那这个数就是11的倍数。
这个方法也解决了我的之前一个小疑惑，为什么所有位的数字和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。
按照之前的方法。设任意一个数为k0+k1·101+k2·102+……+kn·10n
那么
k0+k1·101+k2·102+……+kn·10n
=k0+k1·（9+1）1+k2·（9+1）2+……+kn·（9+1）n
≡k0+k1·11+k2·12+……kn·1n
≡k0+k1+k2+……kn
通过这个方法，我想也能找到其他数的倍数特征，以后即使忘记了，也能自己推导出来，太好了！

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