【原创】奥数解析（四十一）圆锥的体积

2017-11-09 17:39阅读：

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六年级奥数解析（四十一）圆锥的体积

《奥赛天天练》第41讲《圆锥的体积》。
一个圆锥的体积就等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，根据圆柱的体积公式可以得到圆锥的体积公式。
在本册教材第四十讲已经学习了《圆柱的体积》：
六年级奥数解析（四十）圆柱的体积
本讲在熟练掌握圆柱体积求法的基础上，进一步学习圆锥体积求法。
解题的关键是抓住等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，借助圆柱体积的求法来求出圆锥的体积或与之相关的数学问题。
《奥赛天天练》第41讲，模仿训练，练习1
【题目】：
把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是40立方厘米，问圆锥的体积是多少？
【解析】：
把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，所得圆锥题与原来圆柱体等底等高，该圆锥体积是原来圆柱体积的1/3，消去部分体积就是原来圆柱体积的（1－1/3）。
根据题中条件，可以先求出原来圆柱体积，再求出所求圆锥体积为：
40÷（1－1/3）×1/3

＝20（立方厘米）。
也可以先求出所求圆锥体积与削去部分体积的比，再求出圆锥体积为：
40×[1/3÷（1－1/3）]＝20（立方厘米）。
《奥赛天天练》第41讲，模仿训练，练习2
【题目】：
如图，在仓库的一角有一堆稻谷，呈四分之一圆锥形，经测量知底面弧长为2.4米，圆锥的高为1.57米。已知稻谷的比重是每立方米725千克，求这堆稻谷重多少千克？

【原创】奥数解析（四十一）圆锥的体积

【解析】：
如上图，四分之一圆锥形的底面正好是四分之一圆，其弧长就等于它所在圆锥底面圆周长的四分之一。根据底面弧长可以依次求出底面圆周长、半径和面积，最后求出四分之一圆锥形稻谷的体积（列综合算式更便于约分计算）：
1.57×3.14×（2.4×4÷3.14÷2）²×1/3 ÷4＝0.96（立方米）
这堆稻谷的总重量为：
0.96×725＝696（千克）。
《奥赛天天练》第41讲，巩固训练，习题1
【题目】：
圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长。已知正方体的体积是30立方厘米，求圆锥的体积是多少？
【解析】：
假设圆锥的高和底面半径都是x厘米，由题意可得：
x³＝30
圆锥的体积为：
3.14×x²×x×1/3＝3.14/3 × x³（立方厘米）
把x³＝30带入，可得所求圆锥的体积为：
3.14/3 ×30＝31.4（立方厘米）。
《奥赛天天练》第41讲，巩固训练，习题2
【题目】：
如图，一张扇形薄铁片，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，试求圆锥的容积。（接缝处忽略不计）

【原创】奥数解析（四十一）圆锥的体积

【解析】：
扇形的弧长就是用这个扇形围成的圆锥的底面周长。
先由圆锥的底面周长求出底面面积，再求出圆锥的容积（因薄铁皮的厚度可以忽略不计，圆锥的容积即它的体积）：
3.14×（18.84÷3.14÷2）²×4×1/3＝37.68（立方分米）。
《奥赛天天练》第41讲，拓展提高，习题1
【题目】：
一个直角三角形的三条边分别是3厘米，4厘米，5厘米。
（1）如果以边长是4厘米的一条边为轴，将三角形旋转一周，得到一个什么形体？求出体积。
（2）如果以边长为5厘米的一边作轴，将三角形旋转一周，又得到什么形体？求出它的体积。
【解析】：

【原创】奥数解析（四十一）圆锥的体积

（1）展开想象，如下图，以边长是4的一条边为轴，将三角形旋转一周，得到的是一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆锥。

这个圆锥的体积为：
3.14×3²×4×1/3＝37.68（立方厘米）。
（2）如下图，如果以边长为5厘米的一边作轴，将三角形旋转一周，得到是两个底面重合的圆锥拼成的几何体。

【原创】奥数解析（四十一）圆锥的体积

求出这个组合几何体体积的关键是要利用相似三角形的知识先求出圆锥底面圆半径。
上图中圆锥底面圆半径正好与原直角三角形5厘米长的斜边垂直。斜边长4厘米的直角三角形与原三角形因三个角的度数对应相等，大小不等形状完全相同，我们称这样的两个三角形叫做相似三角形。任意两个相似三角形对应边都成比例。假设圆锥底面圆半径长x厘米，可得比例方程：
4/5＝x/3
解比例得：x＝2.4
根据圆锥的体积公式，如果圆锥的底面积一定，那么圆锥的高和体积成正比例，可求出题中两个圆锥组合成的几何体的体积为：
3.14×2.4²×5×1/3＝30.144（立方厘米）。
《奥赛天天练》第41讲，拓展提高，习题2
【题目】：
甲、乙两圆锥体容器形状相同，体积相等，甲容器中水的高度是圆锥高的1/3，乙容器中水的高度是圆锥高的2/3，哪一个容器中盛水多？多的是少的几倍？

【原创】奥数解析（四十一）圆锥的体积

【解析】：
如下图，甲容器中水的高度是圆锥高的1/3，则水面以上空余部分小圆锥的高是原圆锥高的（1－1/3），对应的小圆锥的底面圆半径也是原圆锥体底面半径的（1－1/3）：

【原创】奥数解析（四十一）圆锥的体积

根据圆锥的体积公式可得，在特定的条件下，圆锥的体积与圆锥的高成正比例，与圆锥的底面积成正比例，与圆锥的底面圆半径的平方成正比例。因此小圆锥的体积是原圆锥体积的：
（1－1/3）×（1－1/3）²＝8/27
所以甲容器中水量占容器容积的：
1－8/27＝19/27
同理可得，乙容器中水量占容器容积的：
2/3 ×（2/3）²＝8/27
两个容器的容积相等，因此甲容器中盛水多。
19/27 ÷ 8/27＝2又3/8
所以甲容器中盛水量是乙容器中盛水量的2又3/8倍。

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