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为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？

2020-03-28 10:35阅读：

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为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？ 为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？
黎曼函数猜想
黎曼是德国著名的数学家，数学成就非常大，他主要研究的是质数相关的问题，提出了著名的黎曼猜想。而在处理黎曼猜想的过程中，出现了一个副产品，就是这个式子，1+2+3+……+n=-1/12，即全体自然数的和等于负的十二分之一。这个式子从出现到今天，一直都引起着人们广泛的兴趣和关注，因为人们都觉得这不寻常的式子后面，也许隐藏着数学里的大秘密。按人们正常的逻辑，自然越往后加，越趋于无穷大，数学上确实也是这样，无论是按数列去计算多项和还是按级数算，得到的都是一个发散的结果，无穷大。可是，这只是正常算法。
那么我们来看看，这个式子是怎么产生的。其实有四种方法：
1.首先一个算法是比较易懂的：
pan >S0=1-2+3-4+5-6……，这个S0可以算出收敛到四分之一。
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？S0
然后再有S=1+2+3+4+……，再用
S-S0=0+4+0+8+0+16……,而这S-S0=4S，那么S=-1/12。
而事实上，无论用什么方法计算全体自然数的和，得到的结果都只有两个，要么是无穷大，要么就是-1/12。
2.再讲第二种方法，通过阶乘。一个数的阶乘就是指把不大于这个数的所有自然数相乘。比如3的阶乘就是1*2*3，并且写作一个感叹号！，即3！。这些都很好理解，也可以容易证明得到1！=1，0！=1这些。
但是如果现在又告诉你（1/2）！等于二分之根号π，（-1/2）！等于根号π，（-2）！=∞，你可能又会蒙圈，因为这些1/2什么的不是自然数，讨论起来并没有什么意义。在数学领域有专门的语言，可以说1/2这些数字不在阶乘函数的定义域内。
但是数学上又有一种工具，叫做解析延拓，意思就是拓展原函数的定义。如果给了一段函数，那么如果让它两头延伸，似乎有无数种方法。因为如果拿着笔在函数两头画延长线，我可以随意弯随意扭。但是我们有一个理由去确定延拓的唯一性，就是高等数学中的导数与“光滑”的定义，这也就是解析延拓的唯一性。数学上所说的光滑就是指无穷多阶都可导，这样就排除了许多种延伸方案。结论就是，只要给的一小段函数光滑，就能确定在全部定义域内的函数图像。这看起来非常不可思议，但是这就是数学的魅力所在。
 大致理论推导算法：
S1=1-1+1-1……
S2=1-2+3-4……
S3=1+2+3+4……（所有自然数之和）
S1的期望是1/2，50%是1，50%是0，1/2*1+1/2*0=1/2。
把S2与自己相加，用类似高中处理数列的方式，往后错开一位，第一位1+0，第二位-2+1，第三位3+(-2)……，得到1-1+1-1……，故2S2=S1，S2=1/4。
用S3-S2，第一位1-1，第二位2-(-2)，第三位3-3，第四位4-(-4)……得到4+8+12+……，故S3-S2=4S3，S3=-1/12。
了解了解析延拓，再回到阶乘。首先可以知道。阶乘的图像是离散的，就是一串点。但是在做了解析延拓之后就是这样的图像：
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？阶乘原函数
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？阶乘解析延拓后
阶乘的解析函数还有一个专有名称：伽马函数。伽马函数已经超出了阶乘的形式，他是一个积分形式的函数。
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？伽马函数
而这个伽马函数的值却等于阶乘，比如Γ（4）=3！，即Γ（n）=(n-1)！。
用同样的理念去解决全体自然数的和就精妙的许多。通过引入另一个ζ函数就可以。
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？
全体自然数的和就是ζ（-1）的值。1735年，大数学家欧拉证明了自然数的平方倒数和收敛于六分之π的平方。继续研究，就发现了一些惊人的结论：
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？欧拉得出结论
3.第三种方法，黎曼ζ函数。至此还没有结束。1859年，数学家黎曼找到了ζ函数的解析延拓，与伽马函数一样是一个积分形式的超越函数。
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？
把-1代入其中，就能得到全体自然数的和等于-1/12这个结论。
4.拉马努金求合法。
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？
代入f(x)=x，x=∞，就能得出结论。以上就是四种求出全体自然数和等于-1/12的方法。
那么-1/12究竟意味着什么，这谁也不知道，也许数字的尽头无穷大有一个崭新的世界，也许毫无意义。但是可以确定的是，-1/12这个结论是可以运用的。在量子物理方面，引入-1/12来代替无穷大进行计算会方便很多，而且得到的结果往往最符合实验结果。
其实仔细想想，无穷大无穷小只是人们想象出来的概念，是为了方便数学研究做的一个概念设定。凡是涉及无穷大或者极限这类抽象的计算与证明，都不能理解它实际的意义，他不能被观察，也不能去体会。一个原点就能把数字分成正数和负数，那是不是说明数轴的无穷远也是井井有条呢？
可以明确反对的是，有些伪科学将它夸夸其谈，说成是数学界的大阴谋之类的。这只是数学上的一个的小问题，正常来说完全可以把自然数的和当成无穷大来处理。-1/12并不是人们表面看上去的那个意思，因为毕竟它是拓展了定义域之后的一个发散想象的结果，并不是实际存在的，就像我们只能说一个人两个人，但不能说1/12个人。
个人猜想与评价：全体自然数的和有没有现实意义与之对应而得到-1/12呢？什么很大很多的东西累计起来却是很小呢？笔者在初次接触这个命题的时候就联系到了宇宙大爆炸的奇点问题。首先确定什么是全体自然数。全体自然数绝对不单单指地球，全体自然数应该是指整个自然界的集合，如果数字1代表1克，那么你可以理解为全体自然数就是整个宇宙所有物质的总重量。因为一旦规定了整个宇宙，那么人类所认知的事物就没有能超过宇宙的，就是说如果说质量，就没有能超过整个宇宙质量的第二个物体存在，即使是有所谓的平行宇宙或者别的宇宙，那也是独立于我们这个宇宙之外的。
为什么自然数之和1+2+3+……+n等于负1/12？奇点大爆炸
那么如果全体自然数的现实意义是整个宇宙，那么-1/12又是什么意义呢？我想也许就是宇宙奇点的存在单位。还按质量来说，如果全体自然数映射全宇宙的质量，那么宇宙大爆炸前的奇点的质量就是-1/12整个宇宙的质量，假设宇宙重量是12克，那么奇点就是-1克，也就是说如果宇宙大爆炸前有个电子秤，那么你要在奇点上放1克的东西，电子秤的示数才能是0,再放1克，才能变成1。

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