2022年数学新高考II卷第8题有错误

2022年数学新高考II卷第8题有错误。 【题目如下】：
8.若函数f(x)的定义域是R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则Σ（k=1，∞）f（k）=_________.
A.-3;B.-2;C. 0;D. 1
A.A;B.B;C.C;D.D
【解析】
令x=y
f(2x)+f(0)=f(x)²
令x=y=0,得
f(0)+f(0)=f(0)²
2f(0)=f(0)²
f(0)=0,或者，f(0)=2.
令y=0，得：
2f(x)=f(x)f(0)
如果f(0)=0,则f(x)=0,与f（1）=1矛盾，所以，f(0)≠0，所以f(0)=2.
令y=1，得：
f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)
得到递推公式：
f(x+1)=f(x)-f(x-1)
f（k），k是整数，每一项等于前面一项减去再前面一项。
f(x+1)=f(x)-f(x-1)=f(x-1)-f(x-2)-f(x-1)=-f(x-2),
设x-2=t，x+1=t+3，
f（t+3）=-f（t）
f(t)=-f(t+3)
相差3项的两个项，值相反；
由此可以推出：
f(t)=-f(t+3)=f(t+6),
函数是周期性的，最小正周期为6.
f(0)=2;
f(1)=1;
f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1;
f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2;
f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1;
f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1;
f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2;
……
通项公式：
f（6k+1）=1
f（6k+2）=-1
f(6k+3)=-2
f(6k+4)=-1
f(6k+5)=1
f(6k)=2
每个周期的各项和为0.
设S(n)=则Σ（k=1，n）f（k）
则：k=1,2,3,...
S(6k)=0,
S(6k+1)=1;
S