[原创]关于m×n格的矩形网格的内接四边形的横(竖)线之和
2017-05-06 17:16阅读：
关于m×n格的矩形网格的内接四边形的横(竖)线之和
大罕
【定理一】m×n格的矩形网格的内接四边形所覆盖的网格线中，水平线段的长度之和记作p，竖直线段的长度之和记作q，则p=q.
证明：m×n格的矩形网格的内接四边形所覆盖的网格线中，横线分别为p1,
p2, …,
pm-1，竖线分别为q1,
q2, …,
qn-1，设内接四边形的面积为S，则利用三角形面积公式和梯形面积公式，可得S=
p1+p2+…+pm-1=p，同理有S=
q
1+
q2+
…+qn-1=q，所以p=q.
注：以上证明由周继光老师第一个给出。
【定理二】在m×n格的矩形网格ABCD中，
A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA上的格点，AA1=i，B1C=k，C1D=j，D1D=h，内接四边形A1B1C1D1的面积为S，则
S =(1/2) [mn-(i-j)(k-h)]
证明：格点矩形L：ABCD的长、宽分别为m、n，它的内接格点四边形为L1：A1B1C1D1，
设S1、S2、S3、S4分别是△D1AA1、△A1BB1、△B1CC1、△C1DD1的面积
SA1B1C1D1=SABCD-(S1+S2+S3+S4)
=AB×BC-(1/2) (
AA1×AD1+
A1B×BB1
+B1C×CC1
+C1D×DD1)
=mn-(1/2)[i(n-h)+(m-i)(n-k)
+k(m-j)+jh]
=mn-(1/2)[mn+(i-j)(k-h)]
=(1/2) [mn-(i-j)(k-h)]
注：以上结果“揽数习文群”群友郑用珂也得到了。
【推论】在m×n格的矩形网格ABCD中，
A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA上的格点，AA1=i，B1C=k，C1D=j，D1D=h，内接四边形A1B1C1D1所覆盖的网格线的水平线段的长度之和为p，竖直线段的长度之和为q，则
P=q =(1/2) [mn- (i-j)
(k-h)].
证明：由定理一和二立即可知。
以上围绕着矩形网格的内接四边形的面积展开了讨论，需要提及的是，一般地，关于格点多边形还有著名的毕克
(Pick)
定理，即：若格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积S=N+(L/2)-1。用这个定理当然也可以计算本文涉及的格点四边形的面积。
2017-5-6
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