一道所谓的小学奥数题
2017-09-28 16:33阅读：
一道所谓的小学奥数题
(一道初中自主招生题)
大罕
有一道奥数题：如图，边长为4的正方形，以一个顶点为圆心、4为半径作一个1/4圆的扇形，以一条边为直径作一个半圆，扇形和半圆形交错部分即阴影部分，求阴影部分的面积。
这道题我最先是在别的数学群里看到的。有人给出了解答，用的是定积分方法，没见到初等的方法。后来笔者发到“揽数习文群”（群主为本人），有人断言“小学初中高中根本无法做”。
这时，又有老师在群里贴上了两个算式：
(1/2)
×2arctan2×(1/2)
×2arctan(1/2)
×16-8,
2π+12arctan(1/2)-8
.
我跟帖道：“高中现在的学生解题很多是草稿的罗列，算式的罗列。这种坏习惯是老师的坏习惯带出来的。一代代传下去，怎得了？
“易简难详”(大罕语)，是数学表达的基本原则。容易题简略表述，困难题详细表述。当然，难与易是相对的。上面这道题，群里一些人“不敢”做，所以当属难题。既是难题，应当详述，因此列一个式子的表述，是不符合“基本原则”的。”
下面我们把问题一般化，已知正方形的边长为2m，那么
S
阴影＝S
1+S
2-2S
3，
计算扇形S
1时，注意到扇形的圆心角是2arctan(1/2)
(弧度，以下同)，圆半径为2m，弧长为4marctan(1/2)，
由扇形面积公式，有
∴S
1=4m
2 arctan(1/2)，
计算扇形S
2时，注意到扇形的圆心角是π-2
arctan(1/2)，圆半径为
m，弧长为m(π-2
arctan(1/2))，
∴S
2=(1/2)(m
2)π-(m
2)arctan(1/2)，
而S
3=m
2,
∴S
阴影=(1/2)
(m
2)(
π+6arctan(1/2)-4),
注意到π+6arctan(1/2)-4≈1.92347825，
∴S
阴影=(1/2)
(m
2)
×1.92347825
.
(*)
式子(*)是一个很俏皮的公式！
我们再看题首的问题，正方形边长为4，即m=2，
S
阴影=2×1.92347825＝3.8469565.
以上的叙述就符合“基本原则”了。
有网友指出，这道题源于2009年广州某初中自主招生，曾在网上和某些报上刊沸沸扬扬。
在原题中，正方形边长为20，并且把图形画在方格上，如图3，求标有a的这一部分的面积。
网友“哈哈”一向都认为数学是自己的强项，高考时还差点得到满分，可他也花了一天一夜才答出这道题。“我发给我许多同窗，他们看了半天，最后动用专业的工程制图软件，千计万算才量出这块面积”。
动用专业工程制图软件是起不决定性作用的。“千计万算”也不过是上面我们介绍的方法。正方形边长为20，即m=10,
则(1/2)(m
2)=50,
∴
S(阴影)＝50×1.92347825=96.1739125.
本题是在方格纸上画图，这就为我们用最朴素的方法提供了方便，我们可以在指定区域内数格子的个数，从而获得近似解。只是我们在数格子时要细心，要适当拼凑。这个方法，正是小学数学教材里所要求的，所谓的粗估法。别小看粗估法，它在实际中有时大有用处。此题其实给学生留了一条路，就是粗估法之路。从这个意义讲，这道题放在这里，是完全可以的。
