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[原创]几何趣题与莫雷三角形

2020-12-26 19:00阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1257173085

几何趣题与莫雷三角形
大罕
如图1，求等边三角形边长x。
常规解法是：列方程 [原创]几何趣题与莫雷三角形
　　　[(x√3/2)-4 √3]^2+[(x-2)/2]^2=49，
　　解此方程可得：x=13.
　　巧妙解法需要充分利用正三角形的对称性。
　　作如图2的辅助线，在正三角形内六条长为7的线段相交的三点构成一个小的正三角形。图中点O为该正三角形的中心。所以
　　　x=√3(4√3+√3/3)=13．
　　这个图形让我们不禁联想到莫雷定理．
　　莫雷定理是由英国数学家富兰克·莫雷（F·Morley，1860-1937）于1904年提出的．该定理的结论十分优美．
[原创]几何趣题与莫雷三角形
　　莫雷定理：将三角形的各角三等分，则每两个角的相邻的三等分线的交点构成一个正三角形．
　　已知：在ABC中，∠BAF=∠FAE=∠EAC =α，∠ABF=∠FBD=∠DBC=β，∠BCD=∠DCE=∠ECA=γ，
　　
求证：DEF为正三角形．
　　这个定理的证明比较难．有多种证法．下面介绍一个纯几何的方法．
　　证明：ABC中，∠A=3α，∠B=3β，∠C=3γ，则α+β+γ=60°，如图3．
　　构造AFE，使得∠EAF=α，∠AFE=60°+β，则∠AEF=60°+γ，以EF为边向AFE外作正DEF，
　　构造BDF，使得∠FBD=β，∠BDF=60°+γ，则∠BFD=60°+α，
[原创]几何趣题与莫雷三角形 　　构造CED，使得∠DCE=γ，∠CED=60°+α，则∠CDE=60°+β，
　　延长BD、CD分别与直线EF交于M、N，连接AB、BC、CA、MB、NC，如图4.
　　在MDE中，由外角定理知
　　　∠EMD=∠CDE-∠DEM =(60°+β)-60°=β，
　　∴B、D、F、M四点共圆，
　　∴∠MBD=∠EFD=60°．
　　同理可证：B、D、F、M四点共圆，
　　∴∠NCD=∠FED=60°，
　　∴∠MBN=∠NCM，
　　∴B、C、N、M四点共圆，
　　∴∠NBC=∠NMC=β，且∠MCB=∠MNB=γ．
　　同理可证：∠BAF=∠EAC=α，∠ABF=β，∠ACE=γ，
　　从而可知∠BAF=∠FAE=∠EAC =α，∠ABF=∠FBD=∠DBC=β
[原创]几何趣题与莫雷三角形 ，∠BCD=∠DCE=∠ECA=γ，且DEF为正三角形．证毕．
　　本文图2，有点像莫雷定理的图形，但不属于莫雷定理所研究的对象，比起莫雷定理来它简单得多．

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