二阶常系数非齐次线性方程的解法

2007-08-22 13:45阅读：

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二阶常系数非齐次线性方程的解法
　

我们来学习二阶常系数线性非齐次方程

的求解方法.由前面我们知道线性非齐次方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方程的通解的解法，现在的关键是怎样求得特解。
二阶常系数非齐次线性方程的解法
常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为：

下面我们根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式：

（1）：设

，其中μ为一常数，
若

为零次多项式，此时：
a):当μ不是特征方程的根时，可设

b):当μ是特征方程的单根时，可设

c):当μ是特征方程的重根时，可设

若

为一m次多项式，即：μ=0，此时
a):当a₂≠0即μ=0不是特征方程的根时，可设

b):当a₂=0，a₁≠0时，即μ=0是特征方程的单根时，可设

c):当a₂=0，a₁=0时，即μ=0是特征方程的重根时，可设

例题：求方程

的一个特解
解答：对应的特征方程为

原方程右端不出现

，但可以把它看作是

，即μ=0
因为μ=0不是特征方程的根，所以设特解为

代入原方程，得

于是：

故所求的特解为：

（2）：设

或

，其中a,μ,v为常数。
此时的特解为：

例题：求方程

的特解
解答：显然可设特解为：

代入原方程得：

由此得：
A=-1
从而原方程的特解是

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