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滤子是亨利·嘉当在1937年发明的并随后在尼古拉·布尔巴基的书《Topologie Générale》中作为对 E. H. Moore 和 H. L. Smith 在1922年发明的网的概念的替代。

一般定义

偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，如果如下条件成立:
  1. 对于所有 F 中的 x, y，有某个 F 中元素 z，使得 z ≤ x 并且 z ≤ y。(F 是滤子基)
  2. 对于所有 F 中的 x 和 P 中的 y，x ≤ y 蕴涵 y 在 F 中。 (F 是上闭集合)
  3. 滤子是真滤子，如果它不等于整个集合 P。这经常作为滤子定义的一部分。
尽管上述定义是为任意偏序集合定义滤子的最一般的方式，它最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
包含一个给定元素 p 的最小的滤子是主滤子而 p 在这种情况下是主元素。p 的主滤子只用集合 给出，并指示为 。
滤子的对偶概念，就是说通过反转所有 ≤ 并交换 ∧ 为 ∨ 得到的概念是理想。因为这种对偶性，关于滤子的讨论通常也可以翻版到理想的讨论。所以关于这个主题的多数额外信息(包括极大滤子和素滤子)都可以在关于理想的文章中找到。关于超滤子有专门的条目。

集合上的滤子

滤子的一个特殊情况是定义在集合上的滤子。假定一个集合 S，偏序 ⊆ 可以通过子集包含定义在幂集 P(S)上，把 (P(S),⊆) 变成了一个格。定义 S 上的滤子 F 为 P(S) 的有如下性质的子集:
  1. S ∈ F。(F 非空)
  2. ∅ ∉ F。(F 为真子集)
  3. 如果 A ∈ F 并且 B ∈ F，则 A ∩ B ∈ F (F 闭合于有限交之下)
  4. 如果 A ∈ F 且 A ⊆ B，则 B ∈ F 中，对于所有 B ⊆ S。(F 是上闭集合)
前三个性质蕴涵了集合上的滤子有有限交集性质。通过这个定义在集合上的滤子是真滤子。为此有时叫做集合上的真滤子；但是，只要集合上下文是明显的，短名字就足够了。
滤子基是 P(S) 的带有如下性质的子集 B：
  1. B 的任何两个集合的交集包含 B 的一个集合
  2. B 是非空的并且空集不在 B 中
滤子基 B 可以通过把包含 B 的一个集合的 P(S) 的所有集合包括在内而变成(真)滤子。所以结果的滤子基经常被称为是生成或扩张自滤子基 B。所有滤子更加是滤子基，所以经过滤子基到滤子的过程可以被看做某种补全。
如果 B 和 C 是在 S 上的两个滤子基，要说 C 细于(fine) B (或者 C 是 B 的精细)，意味着对于每个 B0 ∈ B，有一个 C0 ∈ C 使得 C0 ⊆ B0。
  • 对于滤子基 B 和 C，如果 B 细于 C 且 C 细于 B，则 B 和 C 被称为等价滤子基。
  • 对于滤子基 A, B 和 C，如果 A 细于 B 且 B 细于 C，则 A 细于 C。
给定 P(S) 的一个子集 T，我们可以问是否存在一个最小的滤子 F 包含 T。这样一个滤子存在，当且仅当 T 的子集的有限交集是非空的。我们称 T 为 F 的子基，并称 F 生成自 T。F 可以通过采纳 T 的所有有限交集来构造，它就是 F 的滤子基。

例子

  • 最简单的滤子的例子是包括 S 的一个特定非空子集 C 的 S 的所有子集的集合。这种滤子叫做 C 生成的主滤子。
  • 在无限集合 S 上Frechet滤子是 S 的有有限补元的所有子集的集合。
  • 集合 被叫做自然数序列 的尾滤子基。尾滤子基由任何网 使用构造 得到。所以，所有的网都生成一个滤子基(并因此是滤子)。因为所有序列都是网，这对所有序列也成立。

在模型论中滤子

对于在集合 S 上的任何滤子 F，如下定义的集合函数
是有限可加性的，就是一个“测度”，如果这个术语更加松散的构造的话。所以陈述
可以在某种程度上被认为类似于声称 φ“几乎处处”成立。在滤子内的成员关系释义用在模型论的超乘积理论中。

在拓扑学中的滤子

在拓扑学和数学分析中，滤子被用来定义收敛，类似于序列在度量空间空间中所扮演的角色。
在拓扑学和有关的数学领域中，滤子是网的推广。网和滤子二者都提供非常一般性的上下文来统一各种极限概念到任意的拓扑空间。
一个序列通常用作为全序集合来索引。因此，在第一可数空间中的极限可以被序列所描述。但是如果，空间不是第一可数的，则必须使用网或滤子。网推广了序列的概念，通过简单的要求索引集合是有向集合。滤子可以被认为是从多个网建立的集合。因为，滤子的极限和网的极限二者在概念上同于序列的极限。
使用滤子的好处是很多结果的证明可以不使用选择公理。

邻域基

选取拓扑空间 T 和一个点 x ∈ T。
  • 选取 Nx 是在 T 的点 x 上的邻域滤子。这意味着 Nx 是点 x 的所有拓扑邻域的集合。可以验证 Nx 是个滤子。邻域系统是邻域滤子的另一个名字。
  • 要说 N 是在 T 的 x 上的邻域基，就意味着对于所有 V0 ∈ Nx，存在 N0 ∈ N 使得 N0

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