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中的一個重要例子。
在物理中，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程以及亥姆霍茲方程。
在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程式中的動能項。
在數學中，經拉普拉斯算子運算為零的函數稱為调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。

定义
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
(1)
f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：
(2)
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
坐標表示式

二維空間　　

其中x與y代表 x-y 平面上的笛卡兒坐標 另外極坐標的表示法為：

三維空間

笛卡兒坐標系下的表示法
圓柱坐標系下的表示法
球坐標系下的表示法

N 维空间

在参数方程为（其中以及）的N 维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
其中是N − 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。

恒等式

  • 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：
f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：
因此：

推广

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

拉普拉斯-贝尔特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯-德拉姆算子，它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。

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