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时，a²+b² ≥ 2ab 成立，当且仅当a=b时取等号。
- 2、当且仅当竞争对手甲退出投标时，乙才会报一个较高的价位。
- 其他常见的表示充分必要条件的说法还有：“需要且只需要”、“唯一条件”的情况。
例如：
1、为了防止圆管内流动的水发生结冰，则需要且只需要保持圆管内壁面的最低温度在某一温度以上。
2、某军A提出与某军B停火唯一条件是B军先退出某处。 早在1949年，罗杰斯就开始思考：“在不远的将来以客观的证据阐述这一点，已经不再是不可能。‘如果满足条件a,b,和c，那么，心理治疗过程就启动了，并会在当事人的态度及人格方面有x，y和z等变化。’” （霍华德·基尔申鲍姆：《卡尔·罗杰斯传记》，第205页，熊然译，中央编译出版社，2016年。）
1956年，他第一次提出这样的说法。如果治疗师做到以下：
（A）真实，有内在的一致性；
（B）接纳，珍视当事人作为人的价值；
（C）以一致性的方式理解当事人的内心世界。
当事人就会变得：
（a）有比较现实的自体感受；
(b)比过去自信，更自我引导；
（c）比较正面地看待自己；
（d）较少压抑自己体验的成分；
（e）更成熟，合群，在行为上有较好适应性；
（f）在他的人格结构中比较像一个健康、整合、功能健全的人。
（霍华德·基尔申鲍姆：《卡尔·罗杰斯传记》，第205页，熊然译，中央编译出版社，2016年。）
1957年，罗杰斯发表了论文《心理治疗中人格变化的必要与充分条件》，进一步发展了他的a,b,c的公式。
罗杰斯解释，多年来他如何试图理解心理治疗的重要成分是什么：“在考虑了我本人和我同事们的临床经验，以及可以得到的研究发现，我提出了几个在我看来似乎是启动建设性人格变化所必需的条件，而且，这些条件，合在一起，对启动这个过程，似乎是充分的。”
这些条件一共有六个。
1、当事人与治疗师之间必须有某种心理接触，换言之，他们之间必须建立起一种关系。
2、当事人必须处于某种心理上的不适，不满意，或用罗杰斯的话说是＂处于一种失调状态，情绪不稳或焦虑。
3．治疗师在这个关系中是一致或整合的。
4．治疗师体验到对当事人的无条件积极关注。
5．治疗师体验到对当事人内心世界的共情式理解，并试图就这种理解与当事人沟通。
6、在一个最起码的程度上，咨询师与当事人就共情式理解与无条件积极关注的沟通得以实现。
7、“如果这六个条件都存在，并能持续一段时间，那就条件就充分了。建设性的人格改变过程会随之发生。”
他列出的前两个条件被称之为心理治疗的先决条件。本来罗杰斯是认为共有六个条件的。但罗杰斯似乎状态还不是足够清晰，他接着又写道：“其他条件都不是必需的。如果这六个条件都存在，并能持续一段时间，那就条件就充分了。建设性的人格改变过程会随之发生。”所谓“能持续一段时间”，这样一来，充分必要条件不是又增加了一个吗？也就是变成七个了。所以，我在转述罗杰斯的论述时，应该指出，他所谓的“充分必要条件”一共是七个条件。
从一般认为理论应该具有简约型和精确性的要求方面，罗杰斯的表达是有问题的。上述的1、2、7，都显然是啰嗦和不必要的。
哲学上有关于“奥卡姆剃刀原理”的说法，其原理指出：如无必要，勿增实体。该原理完全适用于关于心理治疗的表述。
在理论上，用2条可以说清楚的，就没有必要用3条甚至4条。用3条可以说清楚的，就不用更多了。
二、罗杰斯在后期的提法
在1961年的《论个人的形成》以及以后的著作里，罗杰斯已经很少使用“充分必要条件”这一概念。但他仍然在继续论述心理治疗效果的问题。他关于心理治疗因素的看法，越来越多地只强调三个：
1、一致性；
2、无条件积极关注；
3、共情。
无可非议，这三点都是极为重要的。一般研究者也认为罗杰斯最强调的是这三点。
在这里，罗杰斯的表述尽管更加精炼了，但在概念上却有重复。他所所的“一致性”“无条件积极关注”都可以归入我所说的“清晰自己”这一要件（见下面）。另外，他有重要的疏漏，即漏掉了（至少是语焉不详）：即如何回馈和影响当事人的问题。
在这里，罗杰斯在表述一致性、无条件的积极关注、共情时，并没有指出它们是有程度的不同的。
我在自己的心理咨询、心理治疗的实践和教学的实践中发现，只要咨询师、治疗师能够在一定程度上处于“中立”的能量状态，就可以多多少少做到下面所谈的“通心的黄金三要件”，并且产生疗效。
罗杰斯在晚年对“共情”的概念有一定的发展，但一直没有重大的或者说根本性的突破。他没有把“共情”以及心理治疗发展到我现在所论述的“通心”的境界。他在1980年出版的《存在的方式》里写道：“与另一个人共情地相处有多个方面的含义。这意味着进入另一个人的私人的感知世界，并在其中感到自如。它意味着敏锐地觉察到另一个人在不断变化中的感觉的含义，包括他所感受到的恐惧，愤怒，温和或困惑等。这意味着暂时放下自己的判断，去体验另一个人的微妙的生活。这意味着去感觉到他或她几乎不了解的意义，但不要试图去挑明，因为这太有威胁性了。它其中包括用新鲜而又不受惊吓的眼神传达他或她害怕的元素时传达的对人世界的感知。对他或她担心的元素保持不惊的眼神。这意味着与人进行频率检查，以了解您的感知的准确性，并以您收到的响应为指导。您是这个人在自己的干涉世界中的自信伴侣。通过指出另一个人的体验流程中的可能含义，您可以帮助另一个人专注于这种有用的指称对象，以更充分地体验这些含义。”
他更多地注意到了共情的深度问题。但所谓“不要试图去挑明，因为这太有威胁性了。”表现了他的治疗停留于一个固定的框架内，没有上升到法无定法“通心”的高度。而对于“通心”来说，如果是挑明更适合当事人成长，而且心理师有能力挑明之后帮助当事人成长。这往往是哪个取得更大效果的。
三、通心的黄金三要件与治疗的充分必要条件
我在大量的心理治疗实践的基础上，以心理学为基础，借鉴其它学科，提出了通心理论。其中关于通心的黄金三要件的论述，是关于心理治疗（乃至所有心理服务）的充分必要条件更好的表述。
1、清晰自己。即清晰自己的立场与状态。
2、换位体验。即站在当事人的立场上，体验到对方的情绪与状态。
3、有效影响。即以当事人能够接受，甚至乐意接受的方式来影响当事人。
关于以上三要件的表述，在我的《通心的理论与方法》一书中，都有详细的操作性的解释。在我的全人心理学·通心工作坊，更是有大量实际的提高运用这三要件能力的训练。
罗杰斯关于充分必要条件的论述，不管是早期，还是在后期，都被概括在里面了。他说的“一致性”，“无条件的积极关注”，都大致可以归入我说的“清晰自己”。他说的“共情”，也大致可以归入我说的“换位体验”。但是罗杰斯缺乏关于“有效影响”的论述。
罗杰斯对治疗的充分必要条件认识的不够精确，原因可以追溯到他的治疗思想以及关于人性的看法。（这个题目本文暂时不涉及。）他的认识影响了他的治疗实践。如果对他做的案例进行研究，就会发现他的治疗缺乏高效和简明，在不少地方有失琐碎和繁臃，以及大概过分执着于“共情”而被卡住的情况。我曾经组织全人心理学导师班成员对罗杰斯所做的案例进行研究、分析，在讨论中大家对这一点有一致看法。在我的新浪博客里，有三篇关于他的案例的分析的文章。
四、通心黄金三要件的普遍意义
罗杰斯注意到了其他人的研究成果：在现实中的心理咨询中，不同学派的资深治疗师之间的相似程度，远远大于同一学派中资深治疗师与新手之间的相似程度。而且，资深治疗师共有的某些特征，正是已经包含在他所说的必要充分条件里。包括：＂治疗师理解当事人、与之沟通、并与之保持良好关系的能力。＂等。
在心理治疗的社会意义方面，罗杰斯说：“我们没有说这些条件适用于某一类当事人，而另一些当事人在心理治疗中发生变化需要其他的条件。我们没有说这六个条件是当事人中心疗法的基本条件，而其他心理治疗方法有另一些基本条件。我们没有说心理治疗是一种特殊的关系，与日常生活中产生的其他关系在本质上有所区别。我们没有说治疗师需要在具备特殊的专业知识一一心理学，精神病学，医学，或宗教等方面的知识。我相信，学习知识与获得信息有很多很好的效果——但成为一个心理治疗师不在其列。我们没有说，治疗师对当事人的准确诊断，对心理治疗来说是必要的。＂
他的这一段话意味深长，如果我们对之做深入理解，关于他所论述的充分必要条件，罗杰斯已经觉察到具有普适性，它不仅超出了人本心理学治疗的意义，也适用于其它心理治疗流派，进一步还适用于其它领域和学科。
马斯洛、罗杰斯等都认为，心理学关于心灵成长、心理治疗的成果，可以向全社会推广。我也认为，我所提出的通心理论，可以走出工作坊和咨询室，进一步把通心的黄金三要件推广到人类的一切行为。不管是什么行为，只要想达到目的，都必须遵守通心的黄金三要件。
罗杰斯及其名言。
长春出版社2019年出版。