筹算

2019-07-30 19:57阅读：

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博文《河图洛书的智慧》中有“算筹与算盘”，现在补充算筹的运算——筹算。
祖冲之（429-500）将圆周率π的值精确到了第七位，领先世界约1000年。在天文学方面他的成就辉煌：测出了木星公转周期为11.858年（今测11.862年）。用圭影的长短测出了更准确的冬至日！这些成就都是开创性的。为了纪念这位伟大的科学家，国际天文学家联合，把月亮上的一座环山命名为“祖冲之环山”，小行星1888命名为“祖冲之行星”。当时祖冲之的计算工具就是算筹。
筹算在珠算之前的大约两千年是主要的计算工具。由于算筹可以单个挪动，运算起来“进位”灵活方便，如同珠算方式，一般也是从左向右运算。如下图的加减运算过程。

使用算筹进行加减运算，很容易理解，怎么进行乘法？古代一般求积怎么运算呢？
百度计数法介绍的筹算乘法如下：

算筹就是用竹子或其他材料做成的一根根小棒。当时用小棒表示数的方法有横式和纵式两种(表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推，遇零则置空)，如图。

用算筹进行乘法计算，先摆乘数于上，再摆被乘数于下，并使上数的末位与下数的首位对齐，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下两数中间，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位。直到上数各位用完，中间的数便是结果。
下面以183×26为例具体说明一下：
1．把乘数26摆在上面，被乘数183摆在下面，被乘数的个位与乘数的十位对齐，中间留有空余，准备摆乘得的积(如图1)；
2．从高位乘起，用乘数十位上的2乘被乘数183，得3660，摆在中间，积的数位与被乘数对齐(如图2，积的个位0用空位表示)：

3．去掉已乘过的乘数十位上的数字2，把乘数个位6移至与被乘数的个位对齐的位置(如图3)；
4．用乘数个位6乘被乘数183，所得的积（1098）与3660相加，最后得积4758(如图4)。
千多年中众多计算工作者使用筹算，方法应该也是多样的，各领风骚。
古人从左至右算，乘数在上，被乘数在下，积放在中间。古人计算用'筹'不用笔，筹算可以任意改变形态，所以左至右算根本不麻烦。如算49X36的步骤，结果是1764。过程如下图，笔者增加了运算过程的提示：

此例根据（百度）算筹计数法加以整理：https://baike.baidu.com/item/算筹/954669?fr=aladdin
以上介绍的两种筹算两数求积，异曲同工，就是遇“0”以空位显示，不容易习惯。
筹算沿用了一千多年，有多种方法，今探讨使用长的筹算，进行交叉法求积。举数例以窥探一斑。例1，47X8=？
其3个数字是4,7,与8，我们在平面上分别取4根、7根与8根算筹，上下分别横摆4根与7根，表示47；竖摆8根表示8（如下图）。
算筹的每一个交叉点体现1。交叉点的区域域分别是A区域域和B区域域。
B区域是7根与8根算筹的交叉点，有56个，表示7X8=56=50+6。说明47X8积的个位数是6，而其中5应该进位到十位数：

A区域是4根与8根算筹的交叉点,4与8的交点有32个。表示4X8=32=30+2，
说明47X8积的百位数是3，2是十位数的部分。那么十位数是2+5=7。
我们得到 47X8=376。
实际进行筹算的时候，得到32与56个交点，就可以从右边往左写：个位数6开始写，然后将“5”加到32的“2”得“7”，最后是“3”。书写顺序如：3←7（2+5）←6。这符合古代数码从右往左书写的方式：

数学的精彩之一，在于化繁为简，人们将用一根不一样的筹算表示5。

例2，两位数相乘的筹算计算方法：x=23X41=？
23用算筹2与3分列上下，AB₁与B₂C；41用算筹4与1分列左右。AB₂与 B₁C。
这是筹算23乘以41的架构，它们的交叉处分成3个区域域：A，B₁∪B₂与 C（如图）算筹的交叉点是筹算乘法的要点。
这里，A，B₁，B₂与 C既表示算筹交叉点，也表示该交叉点所在的区域域。

23X41,算筹如图排列，两数算筹交点的个数表示不同的数字。
C区域域的一个交点表示1，如下图，三个交点表示3。我们用c表示C区域域交点的个数，那么c=3.
B₁、B₂的每个交点体现一个十位数与一位数的积，所以表示10，如图，B₁有2个交点，B₂有12个交点，一共有14个交点，表示140。我们用b表示B₁与B₂区域域交点个数之和，这里b=14。
A区域域的每个交点体现两个十位数的积，所以表示100，如图，A有8个交点，表示800。我们用a表示A区域域交点的个数，这里a=8。

于是从各个区域域的交点数可以得到乘积：个位数3；B区域域的14之“1”应该进位到A区域域，所以十位数是4；百位数就是8+1为9,得到23x41=943。
用现代的代数式表示就是x=23X41=100a+10b+c=800+140+3=943。
掌握了分区域域，确定各区域域数字的方法以及进位的规律，筹算乘积的结果，就跟珠算一样方便。
例3，63x34=?
算筹5跟1的交叉点体现5跟1的积，所以是5。
这样C区域域体现8；
B1区域域为24，B2区域域为6。于是B区域域合计为24+6=30，其中30应该进位到A区域域；
A区域域体现18。于是：个位数是8，十位数是0，而千位数是18+3=21，
得到： 63x34=2108

如果应用公式，设a=18，b=30，c=8。于是63x34=100a+10b+c=1800+300+8=2108。
例题4，135X246=？
这是两个3位数求积，如图分成A、B、C、D、E 5个区域域，各区域域的交点所体现的数依次是2，10，32，38与30，
根据进位规律，各区域域E、D、C、B、A留下的数据分别是：0，1，6，3，3因此：135x246=33610。