一个精确的素数个数公式
2020-12-03 16:33阅读：
小于给定数值的素数个数的精确公式
褚道葆1,2*
1安徽师范大学应用化学研究所，安徽
芜湖 241000；
2芜湖华欣诺电化学科技有限公司，安徽
芜湖 241000
我是一位化学教授，却对素数产生了浓厚的兴趣，就像仰望夜空中的繁星，对它的美丽和神秘充满着无限遐想。
2020年10月1日为中华人民共和国71周年国庆，我是共和国同龄人，仅以此文献给我的母亲
—伟大的祖国。
素数分布规律一直是人类探索素数奥秘的伟大目标。德国数学家
欧拉曾预言：再过一百万年，人类也无法看出素数分布的奥秘。
可见素数分布规律是何等神秘。
1792年德国数学家高斯发现[1]，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数，即以π(x)表示不超过x的素数个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或
π(x)～x/ln(x)。一百多年后的1896年，法国数学家阿达马证明了高斯的猜想[2]，猜想升为素数定理。素数定理是一个极限定理，x/ln(x)与π(x)的数值偏差很大。素数分布能否有一个准确的一般公式？
1859年，德国数学家黎曼向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文[3]。黎曼在论文中给出π(x)的精确表达式，但其成立的前提是“黎曼函数的所有非平凡零点，均在直线x=1/2”，如果黎曼猜想不成立，则所给出的素数计数函数π(x)的精确表达式也将不成立。
任何事物都有其内在运行规律，正如中国古代思想家老子所言：天法道，道法自然；道生一，一生二，二生三，三生万物[4]。素数分布必有其尚未被人类完全看清的内在规律性和自然之美。
本文从素数分布的内在性质出发，通过大量数值计算分析和验证，对素数分布规律有了更加清晰的认识,给出的素数个数C(x)的公式，只需用科学计算器就能够简便快速的计算得到准确结果，其精确度远高于x/ln(x)和对数积分Li(x)甚至好于黎曼函数R(x),且当x充分大时，C(x)无限趋近于π(x)和x/ln(x)。
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*作者简介：二级教授，电化学科学家，享受国务院特殊津贴，中国化学会永久会员，安徽合肥庐江人，1949年11月生；1976年毕业于厦门大学化学系，1998年厦门大学访问教授；曾任安徽师范大学关键岗位教授，应用化学研究所所长、应用化学硕士点负责人，应用化学、材料化学及有机化学研究生导师，有机化学博士点应用有机化学方向学术带头人,芜湖华欣诺电化学科技有限公司创始人。长期从事电化学科学和技术的研究开发，在国内外重要学术刊物发表学术论文120多篇，主持完成国家自然科学基金及省部级重大重点项目20多项，培养硕士博士30多人，获科技进步奖，自然科学奖多项，授权发明专利11项。
E-mail：
dbchu@sina.com.
我的研究从分析素数表开始，就像高斯当年发现素数定理的方法一样[5]。从素数表中得到π(x)的数值。比较π(x)和x/ln(x)、Li(x)的数值差可以看出，x/ln(x)、Li(x)相对于
π(x)的偏差率较大；比如x为104时，Li(x)的偏差率大于1%，而x/ln(x)的偏差率则大于11%。显然，这个结果不能令人满意。毫无疑问，找到一个更加完美准确的素数个数的计算公式，是一项意义重大的工作。
在无数次数值计算比较之后发现：素数分布密度与x/lgx2紧密相关。
为了区别于π(x)，对每个实数x＞0,以C(x)表示不大于x的素数个数，
C(x)与x/lgx2有如下关系：
(1)
当x=a.10n时， 有
lgx=n+lga,
0≤lga＜1
则，(1)式可表为：
（2）
当a=1，即x=10n时，
有：
(3)
式（1）、(2)、（3）中的B、D为调正因子：
(4)
(5)
式(2)、（3）、（4）、（5）中的n为≥1的自然数;
式（4）中的m为自然对数和常用对数的转换模（系数），m
= 2.302585092940。
C(x)表达式中的B、D为调正因子，对提高C(x)相对于π(x)的准确率起着重要作用，B的调正影响最大，
D只发挥微调作用，当n≥25时，D的微调作用已经较弱，当n≥100时，D的微调作用几乎可以忽略不计。
这里需要特别指出的是，当n＜4时，完全不需要B、D的调正。
比较素数表中给出的素数分布密度可以看出，当n＜4时,
素数分布密度很高，均在10%以上，但下降幅度很大；当n＞4后，素数分布密度已降低到10%以下，同时下降幅度变缓。高斯也许注意到这一点，但他并没有区别对待。
比较研究发现，当n＜4时，C(x)服从下面关系式：
（6）
或
（7）
当a=1,x=10n时,
（7）式为：
（8）
当x=10n时，按照公式（3）和公式（8）计算得到的C(x)的数值列于表1中。并与已知的π(x)的实有数值比较，同时给出二者的差值和偏差率。
表1
C(x)的数值与π(x)值的比较[5,6]
x
π(x)
C(x)
C(x) - π(x)
(C(x) - π(x))/ π(x)
101
4
5
1
0.25
102
25
25
0
0
103
168
167
-1
0.0060
104
1229
1230
1
0.00081
105
9592
9589
-3
0.00031
106
78498
78511
13
0.00015
107
664579
664596
17
2.56E-5
108
5761455
5761391
-64
1.11E-5
109
50847534
50847606
72
1.42E-6
1010
455052511
455053746
1235
2.71E-6
1011
4118054813
4118064190
9377
2.28E-6
1012
37607912018
37607910824
-1194
3.18E-8
1013
346065536839
346065656359
119520
3.45E-7
1014
3204941750802
3204951988259
10237457
3.19E-6
1015
29844570422669
29844782425839
212003170
7.10E-6
1016
279238341033925
279241365499199
3024465274
1.08E-5
1017
2623557157654233
2623592827574919
35669920686
1.36E-5
1018
24739954287740860
24740326124298276
289618805275
1.50E-5
