[转载]面积法→向量法→质点法

2013-01-04 19:37阅读：

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原文地址：面积法→向量法→质点法

原文作者：彭翕成与数学传播

面积法→向量法→质点法
彭翕成 pxc417@126.com
武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
有一次，张师问我，你看过《初等数学论丛》么？上面有篇文章不知你注意到没？
我说：看过。上教社这套书共9册，另有一个精选本。您在上面有不少文章。您指的是不是您同学杨路先生的《谈谈重心坐标》？
张师说：不是，我想说的是莫绍揆先生关于质点法的文章。
我说：这篇文章我看过，方法很特别，很有印象。后来我还特别搜索过莫先生的资料，他解放前留学瑞士，是希尔伯特弟子的弟子。在那篇文章的基础上，他还整理出了书《质点几何学》，不过，好像印量不大，没什么反响。
张师说：看来你下了不少功夫。我没看过这书。你找来好好研究一下，是能出一些成果的。后来我把这本书的电子版发给了张师，还有当时跟张师读博的邹宇，这本书成为邹宇博士论文最为重要的文献，所以他很感谢我。

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有人表示不理解，为何张师一会让你研究向量法，一会让你研究质点法，时间够么，能研究深入么？
其实，张师最反对东一榔头，西一棒棰，他觉得人一辈子能做好一件事都是不容易的。张师研究面积法，从1974年到现在，都快40年了，还在研究中。相对某些专家喜欢提新概念，我认为张师是真正做到了孔子所说的“吾道一以贯之”。
表达面积要用三个点，表达向量要用两个点，表达质点只要一个点。比较这三种不同的方法，质点法处理问题时所考虑的对象可以具有最小的“粒度”，所以质点比向量更基本。而三种方法之间的互相转化也是一件很有趣的事情。
事实表明，《绕来绕去的向量法》出版后，有读者反馈：质点法那一章十分有特色，解题超级棒！
早在1994年，张师研究几何定理机器证明，尝试各种方法，其中就包括了面积法、向量法、质点法、复数法等。最终觉得面积法攻关能力最强，而且也更基础，容易应用于数学教学，于是选择了面积法作为基本工具。
从另一个角度来说，其他方法也各有特色，有其研究价值。所以张师也希望有人来研究这些方法。除了我之外，张师指导的邹宇、李涛两位博士，就是专门从事向量法、质点法、复数法的机械化实现。
前一阵，中科大出版社的编辑肖向兵先生问我，有没有合适的选题，我就报了《向量、复数与质点》这个题目，希望能在张师的指导下，和邹宇、李涛两位共同完成此书。
例1：如图1，在 $vartriangle ABC$ 中， $AD=2DB$ ， $BE=3EC$ ， $AECD$ 交于点 $F$ ，求 $AF:FE$ 。
下面分别用面积消点法、向量回路法、质点法来求解。

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图1 图2
解1： $frac{AF}{EF}=frac{{{S}_{ACD}}}{{{S}_{ECD}}}$ （消去 $F$ ） $=frac{frac{2}{3}{{S}_{ACB}}}{frac{1}{4}{{S}_{BCD}}}$ （消去 $E$ ） $=frac{8}{3}cdot frac{{{S}_{ABC}}}{frac{1}{3}{{S}_{BCA}}}$ （消去 $D$ ） $=8$ （化简）。
解2： $overrightarrow{AC}=overrightarrow{AF}+overrightarrow{FC}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=frac{3}{2}overrightarro...$ $+4left( overrightarrow{EF}+overrightarrow{FC} right)$
$=frac{3}{2}left( overrightarrow{AF}+overrightarrow{FD} right)$ ，则 $frac{1}{2}overrightarrow{AF}+3overrightarrow{FC}=4overrightarrow{FE}+frac{3}{2}overrightarrow{DF}$ 。因 $overrightarrow{AF},overrightarrow{FE}$ 共线， $overrightarrow{FC},overrightarrow{DF}$ 也共线，故 $frac{1}{2}overrightarrow{AF}=4overrightarrow{FE}$ ， $[转载]面积法→向量法→质点法$

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