关于幂律分布的一个笔记

2011-03-02 18:12阅读：

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0：题外话或补记
最早知道二八法则，还是一本介绍犹太民族杰出人物的书，被称为犹太法则。说犹太人跟钱打交道较其他民族多，很早就知道了这个世界上是80%的人把钱借给了20%的会钱生钱的人，而且论据之一居然是人体80%是由水组成，只有20%为其他关键物质；另一论据是空气80%由氮气构成，只有20%包括氧气在内的其他气体。这些固然都是颇有趣的现象，但一直未能上升到理论的高度。

1:幂律即Power law是系统科学中一个常见的现象
经济学财富分布满足Pareto Power law tail分布，语言中有词频的幂律分布，城市规模和数量满足幂律分布，音乐中有f分之1噪音（幂律分布）……。通常人们理解幂律分布就是所谓的马太效应，二八原则，即少数人聚集了大量的财富，而大多数人的财富数量都很小，因为胜者通吃的原则。

股市中有80％的投资者只想着怎么赚钱，仅有20％的投资者考虑到赔钱时的应变策略。但结果是只有那20％投资者能长期盈利，而80％投资者却常常赔钱。

　　20％赚钱的人掌握了市场中80％正确的有价值信息，而80％赔钱的人因为各种原因没有用心收集资讯；　　当80％人看好后市时，股市已接近短期头部，当80％人看空后市时，股市已接近短期底部。只有2

0％的人可以做到铲底逃顶，80％人是在股价处于半山腰时买卖的。
　　券商的80％佣金是来自于20％短线客的交易，股民的80％收益却来自于20％的交易次数。因此，除非有娴熟的短线投资技巧，否则不要去贸然参与短线交易。
　　只占市场20％的大盘指标股对指数的升降起到80％作用，在研判大盘走向时，要密切关注这些指标股的表现。
　　一轮行情只有20％的个股能成为黑马，80％个股会随大盘起伏。80％投资者会和黑马失之交臂，但仅20％的投资者与黑马有一面之缘，能够真正骑稳黑马的更是少之又少。
　　有80％投资利润来自于20％的投资个股，其余20％投资利润来自于80％的投资个股。投资收益有80％来自于20％笔交易，其余80％笔交易只能带来20％的利润。所以，投资者需要用80％的资金和精力关注于其中最关键的20％的投资个股和20％的交易。
　　股市中20％的机构和大户占有80％的主流资金，80％的散户占有20％资金，所以，投资者只有把握住主流资金的动向，才能稳定获利。
　　成功的投资者用80％时间学习研究，用20％时间实际操作。失败的投资者用80％时间实盘操作，用20％时间后悔。
　　股价在80％的时间内是处于量变状态的，仅在20％的时间内是处于质变状态。成功的投资者用20％时间参与股价质变的过程，用80％时间休息，失败的投资者用80％时间参与股价量变的过程，用20％时间休息。

2：几种幂率分布模型

以收入或人口数为横坐标，以不低于该收入值或人口数的个体数或概率为纵坐标，可绘出一条向右偏斜得很厉害，拖着长长“尾巴”的累积分布曲线（如图1右图所示），它与钟形的泊松分布曲线有显著的不同。这种“长尾”分布表明，绝大多数个体的尺度很小，而只有少数个体的尺度相当大，像国家人口，全世界有300多个国家和地区，只有11个国家的人口数超过一亿。“长尾”分布就属于幂律分布。

关于幂律分布的一个笔记

图1 泊松分布(左) 与 “长尾”分布(右)
对“长尾”分布研究做出重要贡献的是Zipf和Pareto。
1932年，语言学家Zipf在研究英文单词出现的频率时，发现如果把单词出现的频率按由大到小的顺序排列，则每个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系：P(r)～r^(-α)，这种分布就称为Zipf定律，它表明在英语单词中，只有极少数的词被经常使用，而绝大多数词很少被使用。实际上，包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特点。物理世界在相当程度上是具有惰性的，动态过程总能找到能量消耗最少的途径，人类的语言经过千万年的演化，最终也具有了这种特性，词频的差异有助于使用较少的词汇表达尽可能多的语义，符合“最小努力原则”。
19世纪的意大利经济学家帕累托（Pareto）研究了个人收入的统计分布，发现少数人的收入要远多于大多数人的收入，提出了著名的80/20法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。个人收入X不小于某个特定值x的概率与x的常数次幂亦存在简单的反比关系：P[X≥k]～x^(-k)，上式即为Pareto定律。对Pareto分布P[X >= x] ~ x^-k，通过求导很容易得到其概率分布密度：p[X = x] ~ x^-(k+1) = x^-a，a = 1+k。对于Pareto定律，在成熟市场中，金融资产收益率的幂律分布其幂指数约等于3.
Zipf定律与Pareto定律都是简单的幂函数，我们称之为幂律分布；还有其它形式的幂律分布，像名次——规模分布、规模——概率分布，这四种形式在数学上是等价的，幂律分布的示意图如图1右图所示，其通式可写成y=c*x^(-r)，其中x，y是正的随机变量，c，r均为大于零的常数。这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小，而只有少数事件的规模相当大。对上式两边取对数，可知lny与lnx满足线性关系，也即在双对数坐标下，幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线，这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。判断两个随机变量是否满足线性关系,可以求解两者之间的相关系数；利用一元线性回归模型和最小二乘法可得lny对lnx的经验回归直线方程，从而得到y与x之间的幂律关系式。图2显示的是图1右图在双对数坐标下的图形，由于某些因素的影响，图2前半部分的线性特性并不是很强，而在后半部分（对应于图1右图的尾部），则近乎为一直线，其斜率的负数就是幂指数。

图2 双对数坐标下一个幂律分布的示意图，直线表示对图1右图尾部的线性拟合

Gutenberg-Richter law

Gutenberg 和Richter 于1954年发现地震震级为m的地震分布N(m)的对数和震级m之间存在线性关系：logN(m) ≈a−bm；

3：幂律可作为自组织临界的证据
幂律分布是自组织临界系统在混沌边缘，即从稳态过渡到混沌态的一个标志，利用它可以预测这类系统的相位及相变。它认为，由大量相互作用的成分组成的系统会自然地向自组织临界态发展；当系统达到这种状态时，即使是很小的干扰事件也可能引起系统发生一系列灾变。著名的“沙堆模型”形象地说明了自组织临界态的形成和特点（如图3）：

关于幂律分布的一个笔记

设想在一平台上缓缓地添加沙粒，一个沙堆逐渐形成。开始时，由于沙堆平矮，新添加的沙粒落下后不会滑得很远。但是，随着沙堆高度的增加，其坡度也不断增加，沙崩的规模也相应增大，但这些沙崩仍然是局部性的。到一定时候，沙堆的坡度会达到一个临界值，这时，新添加一粒沙子（代表来自外界的微小干扰）就可能引起小到一粒或数粒沙子，大到涉及整个沙堆表面所有沙粒的沙崩。这时的沙堆系统处于“自组织临界态”,有趣的是，临界态时沙崩的大小与其出现的频率呈幂律关系。这里所谓的“自组织”是指该状态的形成主要是由系统内部各组成部分间的相互作用产生，而不是由任何外界因素控制或主导所致，这是一个减熵有序化的过程；“临界态”是指系统处于一种特殊的敏感状态，微小的局部变化可以不断被放大、进而扩延至整个系统。自组织临界理论可以解释诸如火山爆发、山体滑坡、岩层形成、日辉耀斑、物种灭绝、交通阻塞、以及金融市场中泡沫崩溃的现象。

4：启示
帕累托法则换句话就是强调了重要的少数与琐碎的多数，也指世界上充满了不平衡性，比如20％的人口拥有80％的财富，20％的上市公司创造了80％的价值，80％的收入来自20％的商品，80％的利润来自20％的顾客，等等。
这一法则潜在地影响了许多成功人士，特别是商界精英、计算机专家和质量工程师。这一法则已经帮助人们塑造了一个现代化世界。然而，它现在依然是我们这个时代一个伟大的秘密。即使是那些百里挑一的能理解并运用80/20法则的行家们，也不过仅仅发现了它的冰山一角而已。

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