一些常用函数的曲线图及应用简说

2012-11-04 12:57阅读：

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0：关于基本数学应用的问题：
我的一些市场分析博文中，用了一些很浅显的数学知识，但仍有博友觉得不大好理解。我采集了一些常用的基本函数的曲线和简单说明，以备速查。

1：正弦余弦曲线：更一般应用的正弦曲线公式为：

$y = A \cdot \sin ( \omega t \pm \theta )$

A 为波幅（纵轴）， ω 为（相位矢量）角频率=2PI/T，T为周期， t 为时间（横轴）， θ 为相位（横轴左右）。
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周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。

例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。

谐波数目递增的方波的加法合成的动画。
余弦函数的（通常是无限的）和；这是傅立叶分析的基础想法。例如，方波可以写为傅立叶级数：

$x_{\mathrm{square}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)t \right )}\over(2k-1)}.$

在动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。
如果明白了上书基本原理，也就不难理解我所用的浮动频率合成曲线的道理。

2：指数函数：形如 y=ka^x 的函数，k为常系数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。指数函数按恒定速率翻倍，可以用来表达形象与刻画发展型的体系，比如金价2001年以来的牛市轨迹基本就是指数方程曲线。
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特例：应用到值 x 上的这个函数可写为 exp(x)。还可以等价的写为 e^x，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还叫做欧拉数。
即函数： $\!\, a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x \ln a}$
定义于所有的 a > 0，和所有的实数 x。它叫做底数为 a 的指数函数。注意这个 $a^x$ 的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数 $e^x$ 的存在。注意上述等式对于 a = e 成立，因为

$\!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.$

指数函数可“在加法和乘法之间转换”，在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述:

$\!\, a^0 = 1$

$\!\, a^1 = a$

$\!\, a^{x + y} = a^x a^y$

$\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

$\!\, a^x b^x = (a b)^x$

它们对所有正实数 a 与 b 和所有实数 x 与 y 都是有效的。
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3：幂函数：是形如f(x)=x^a的函数，a可以是自然数，有理数，也可以是任意实数或复数。

下图是幂函数; 自上至下: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸

注意到上图中a值有分数的情形，这个就是分形数学的源头。分数维意味着两个量x，y之间存在着幂函数关系,即y=ax^b 。而这里的b可以不是正整数。
语言学中Zipf定律与经济学中的Pareto定律都是简单的幂函数，也称之为幂律分布；还有其它形式的幂律分布，像名次——规模分布、规模——概率分布，这四种形式在数学上是等价的，幂律分布的示意图如图1右图所示，其通式可写成y=c*x^(-r)，其中x，y是正的随机变量，c，r均为大于零的常数。这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小，而只有少数事件的规模相当大。对上式两边取对数，可知lny与lnx满足线性关系，也即在双对数坐标下，幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线，这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。
幂率的另一层重要意义：理解幂律分布就是所谓的马太效应，二八原则，即少数人聚集了大量的财富，而大多数人的财富数量都很小。
4：对数函数曲线：群论对于对数的视角，是俺常用的：即从纯数学的观点来看，恒等式

$\log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!$ ，

在两种意义上是基本的。首先，其他算术性质可以从它得出。进一步的，它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

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5：均匀分布：
先看一下离散型均匀分布，在概率论中，离散型均匀分布是一个离散型概率，其中有限个数值拥有相同的概率。设随机变量X取n个不同的值，其概率分布为：
P｛X=xi}=1/n, i=1,2...n; 则称X服从n个点{x1,x2,...xn}上的均匀分布。

这个东西表面看起来抽象，其实只需要记住一个例子就很好理解,赌博用的有6个面的骰子，6个面出现的几率是相等的，即为均匀分布。

连续型均匀分布，如果连续型随机变量 $\mathit{X}$ 具有如下的概率密度函数，则称 $\mathit{X}$ 服从 $[a,b]$ 上的均匀分布（uniform distribution）,记作 $X \sim U[a,b]$
概率密度函数：

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \ \ \ \mbox{for }a \leq x \leq b \\ 0 & \mbox{elsewhere} \end{matrix}\right.$