百度网数学题选答39(1)
2025-05-29 14:30阅读：
1.求证： 1/2^2+1/3^2+……+1/(n+1)^2
证明：1/(n+1)^2<1/(n+0.5)-1/(n+1.5),
所以1/2^2+1/3^2+……+1/(n+1)^2<1/1.5-1/(n+1.5)=n/[1.5(n+1.5)],
要原不等式成立，只需1/[1.5(n+1.5)]<1-2^(-1/n)],
只需1/[1.5（n+1.5)]+1/2^(1/n）<1.
设g(x)=1/[1.5(x+1.5)]+2^(-1/x),x≥1，则
g'(x)=-1/[1.5(x+1.5)^2]+2^(-1/x)*ln2/x^2,
由g'(x)=0得1/[1.5(
1+1.5/x)^2]=2^(-1/x)*ln2,
设u=1/x,0
2^u=1.5(1+1.5u)^2*ln2,
设h(u)=1.5(1+1.5u)^2*ln2-2^u,
则h'(u)=4.5(1+1.5u)*ln2-2^u*ln2>0,
所以h(u)是增函数，h(u)>h(0)=3.5*ln2>0,
所以g'(x)无零点，g(x)是单调函数，
g(1)=1/3.75+1/2<1;
g(+∞)→1
所以g(x)<1成立，原不等式成立。
2.
在矩形ABCD中，E、F分别在AD,CD边上，SABE=8,SDEF=10,SBCF=16.求SBEF.
解：设AE=m,ED=n,DF=p,FC=q.依题意
m(p+q)/2=8,
np/2=10,
q(m+n)/2=16,
[+]×2，mp+mq+np=36,
由，mq+nq=32,
+，(m+n)(p+q)+mq=68，
(m+n)(p+q)=68-mq,
SBEF=S矩形ABCD-(SABE+SDEF+SBCF)
=(m+n)(p+q)-34
=34-mq.条件不足。
3.
在矩形ABCD中AB=6,AD=8,BC边上有一边长为2的正方形EFGH在线段BC上滑动(FG在BC上)，CD上有一动点P,连接AE,EG,GP,PA.求四边形AEGP的周长最小值。
解：延长AD至I,使DI=AD.
在矩形ABCD内作边长为2的正方形AKLM,其中K,M分别在边AB,AD上，连KF,LG。延长ML交BC于N,延长LN至Q,使NQ=LN.(这是关键）。
易知AL=EG=2√2。
ABCD是矩形，
所以CD⊥AD,
于是PA=PI，
由作法，AK=EF,故AE=KF
同理KF=LG，
BC垂直平分LQ,故LG=QG,
四边形AEGP的周长=AE+EG+GP+PA
=AL+QG+GP+PI≥2√2+QI,
当Q,G,P,I四点顺序共线时取等号，这时
IM=8×2-2=14，MQ=6×2-2=10，
由勾股定理，QI=√(IM^2+MQ^2)=2√74，
所以所求的最小值=2√2+2√74.
4.
在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=30°，BE=4,DF=5,FGBC交AE于G.求FG.
解：设AB=AD=x,则tanBAE=BE/AB=4/x,同理，tanDAF=5/x,
易知∠BAE+∠DAF=60°，
由和角正切公式，(4/x+5/x)/(1-20/x^2)=√3，
3√3x=x^2-20,
X^2-3√3x-20=0,
解得x=(3√3+√107)/2.
分别以BC,BA为x,y轴建立直角坐标系，则A(0, (3√3+√107)/2),E(4,0),F((3√3+√107)/2,
(3√3+√107)/2-5),
AE的方程为x/4+y/[(3√3+√107)/2]=1,
FG的方程为y=(3√3+√107)/2-5.
把代入，得x/4+[(3√3+√107)/2-5]/[
(3√3+√107)/2]=1,
xG=40/(3√3+√107)=(√107-3√3)/2.
GF=xF-xG=3√3.
5. 求方程组a^2+h^2=c^2 d^2+h^2=b^2
2(a+b+c+d)=(a+d)h的互质正整数解.
解：本题的m,n表示正整数。
由，设a=h^2/(4m^2)-m^2,c=h^2/(4m^2)+m^2,
由，设d=h^2/(4n^2)-n^2,b=h^2/(4n^2)+n^2.
都代入，得2[h^2/（4m^2）-m^2+h^2/(4n^2)+n^2+h^2/(4m^2)+m^2+h^2/(4n^2)-n^2]
=[h^2/(4m^2)-m^2+h^2/(4n^2)-n^2]h,
化简得（1/m^2+1/n^2）h=[1/(4m^2)+1/(4n^2)]h^2-(m^2+n^2),
两边都乘以4m^2n^2/(m^2+n^2),得4h=h^2-4m^2n^2,
整理得h^2-4h-4m^2n^2=0,
解得h=2+2√(m^2+n^2+1)(舍去负值).
因(mn)^2<(mn+1)^2,故m^2n^2+1不是平方数，于是h不是整数，本题无解。
6. 已知，在RtABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AE平分∠BAC，AC=BE，BD=2，求AE.
解：设CE=x,CD=y,BE=AC=b.
∠C=90°，BD=2,
所以(x+b)^2+y^2=4,(1)
AB^2=(x+b)^2+b^2,
AE平分∠BAC,
所以x/b=b/√[(x+b)^2+b^2],(2)
同理y/(b-y)=(x+b)/√[(x+b)^2+b^2].(3),
(2)/(3),得
x(b-y)/(by)=b/(x+b),
x(x+b)(b-y)=b^2y,
bx(x+b)=(x^2+bx+b^2)y,
y=bx(x+b)/(x^2+bx+b^2),(4)
代入(1),得(x+b)^2+b^2x^2(x+b)^2/(x^2+bx+b^2)^2=4.
去分母得二元六次方程。
由(2),x√[(x+b)^2+b^2]=b^2,
平方得x^2(x^2+2bx+2b^2)=b^4,
x^4+2bx^3+2b^2x^2-b^4=0。
解得x1≈0.54368901b，或x^3+2.543689bx^2+3.382976b^2x+1.839286742b^3≈0,无满足题设的解。
把x1代入(4),得y1≈0.456310985b.
把x1,y1代入(1),得2.591195475b^2=4,
b^2≈1.543689019，
所以AE^2=x^2+b^2≈1.29559774b^2≈2.
所以AE≈√2.
7.求证：tan(3π/11)+4sin(2π/11)=√11.
证：设a=π/11，则2a,3a都是锐角，左边>0,
左边平方=(tan3a)^2+8sin2atan3a+16(sin2a)^2
=(1-cos6a)/(1+cos6a)+8sin2asin3a/cos3a+8(1-cos4a)
=2/(1+cos6a)+8sin2asin3a/cos3a-8cos4a+7=11,
所以原式<==>1/(1+cos6a)+4sin2asin3a/os3a-4cos4a=2,
去分母得cos3a+4sin2asin3a(1+cos6a)=cos3a(1+cos6a)(4cos4a+2),
Cos3a≠0,上式化为1+4sin2asin6a=(1+cos6a)(4cos4a+2),
1+2cos4a-2cos8a=4cos4a+2+4cos4acos6a+2cos6a,
11a=π，所以cos8a=-cos3a,cos6a=-cos5a,
于是2cos3a-2cos4a+2cos5a+4cos4acos5a=1,
2cos3a-2cos4a+2cos5a+2cos9a+2cosa=1,
cosa+cos3a+cos5a+cos7a+cos9a=1/2,
两边都乘以2sina后积化和差，得
sin2a+sin4a-sin2a+sin6a-sin4a+sin8a-sin6a+sin10a-sin8a=sina,
化为sin10a=sina,显然成立故成立，原式成立。
8.
在ABC中，AC⊥BC,CD⊥AB,E,G分别在AC,AB边上，EG交CB的延长线于F,交CD于H,AG=30,CD=24,CE=BG=BF,求DHG的面积。2022.6.16.
解：设BC=a,CA=b,
CE=BG=BF=c,
易知2SABC=ab=24(30+c),
由勾股定理，a^2+b^2=(30+c)^2,
由梅涅劳斯定理，AE/EC*CF/FB*BG/GA=1,即(b-c)(a+c)=30c.，
ab-c(a-b)-c^2=30c,
把代入，得720+24c-c(a-b)-c^2=30c,
a-b=(720-6c-c^2)/c.
a^2+b^2-(a-b)^2=2ab,
所以(30+c)^2-(720-6c-c^2)^2/c^2=1440+48c,
C^2(900+60c+c^2)-(518400—8640c-1404c^2+12c^3+c^4)=1440c^2+48c^3,
整理得864c^2+8640c-518400=0,
C^2+10c-600=0,c>0,
解得c=20.
代入，a-b=10,
代入，得ab=1200,
a^2+b^2=2500,
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4900,a+b=70
解得a=40,b=30.
由射影定理，AC^2=AD*AB,AB=30+C=50,
AD=18,DG=12,
在BCD中，由梅涅劳斯定理，DH/HC*CF/FB*BG/GD=1,
即DH/(24-DH)*60/20*20/12=1,
5DH=24-DH,6DH=24,DH=4,
所以DHG的面积=(1/2)DG*DH=24.
9.
10.解方程组x^(1/3)+y^(1/3)=2,x^2+y^2=730.
解：设u=x^(1/3),v=y^(1/3),方程组变为
u+v=2,v=2-u,
u^6+v^6=730,
把代入，得u^6+(2-u)^6=730,
2u^6-12u^5+60u^4-160u^3+240u^2-192u+64=730,
u^6-6u^5+30u^4-80u^3+120u^2-96u-333=0,
解得u1=3,u2=-1,或f(u)=u^4-4u^3+25u^2-42u+111=0,
f'(u)=4u^3-12u^2+50u-42=0,
2u^3-6u^2+25u-21=0,
(u-1)(2u^2-4u+21)=0,
2u^2-4u+21>0,所以u=1,
u<1时f'(u)<0,u>1时f'(u)>0,
所以f(u)最小值=f(1)=91>0,
由，(u,v)=(3，-1),(-1,3);
(x,y)=(27,-1),(-1,27).
11.
ABC中D是BC边上一点，连结AD，∠BAD=30°，∠ABC=24°，AB=DC，求∠ACB的度数。
解1
设CD=AB=1,
在ABD中∠ADB=180°-（30°+24°）=126°，
由正弦定理，BD=ABsin∠BAD/sin∠ADB=1/(2sin126°）≈0.618033988，
BC=BD+CD≈1.618033988,
在ABC中由余弦定理，AC^2=1+1.618033988^2-2*1.618033988cos24°
≈0.661738789，
AC≈0.813473287,
cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)
用计算器求得cosC≈0.866025397，
所以C≈30°。
解2
在ABD中，∠BAD=30°，∠B=24°，
所以∠ADB=126°>∠B,所以AD
所以∠C<∠CAD=126°-∠C,
所以∠C<63°。
由正弦定理，AD=sin24°/sin54°，
在ACD中1/sin(126°-C)=(sin24°/sin54°)/sinC,
所以f(C)=sin54°sinC-sin24°sin(126°-C)=0,
f'(C)=sin54°cosC+sin24°cos(126°-C)
=
sin54°cosC-sin24°cos(54°+C)>0,
所以f(C)是增函数，f(C)=0的解唯一。
f(30°)=(1/2）sin54°-sin24°sin96°
=（1/2）(sin54°+cos120°-cos72°)
=(1/2)(cos36°-1/2-sin18°)
=(1/2)[(1+√5)/4-1/2-(√5-1)/4]=0,
所以C=30°。
注：sin54°=cos36°=(√5+1)/4.
解3
过D作DEAB交AC于E,则∠CDE=∠B,
设AB=CD=1,在ABD中由正弦定理，
BD=sin30°/sin54°=2/（√5+1）=（√5-1）/2，
所以DE/AB=CD/CB,
即DE=1/[1+(√5-1)/2]=(√5-1）//2=BD,
所以CDEABD(SAS),
所以∠C=∠BAD=30°。
12. 圆桌有9把椅子,4人随机就坐,求没有两人相邻的概率.
解：把椅子顺序编号。
从5个数字中取两个数字的组合数=C(5,2)=10.
其中数字不相邻的有13,14,24,25,35共5种。
所求概率=5/10=1/2.
解2
两人坐定，因两人无区别，故两人之间的两个空位也无区别。取一个空位放入两把编号连续的空椅（12,23,34,45，51）有5法，剩下一把空椅放入剩下的空位，再把未编号的椅子顺序编号。
所以所求概率=5/10=1/2.
原题解：4人入座后，4人之间有4个空位，取一个放两把编号连续的空椅（12,23,34，……，89，91），有9法，剩下的3个空位放入剩下的3把空椅。再按两把编号连续的空椅的顺序把未编号的椅子顺序编号。
所以所求概率=9/C(9,4)=9/126=1/14.
13.
已知：在ABC中，D是BC的中点，E,G分别在CA,AB上，CE=2,EA=9,AG=7,GB=6.四边形DEFG是正方形。求正方形DEFG的面积。
解：设BD=DC=x,正方形DEFG的边长为y.
在GBD中由余弦定理，cosB=(36+x^2-y^2)/(12x),
在ABC中由余弦定理，cosB=(169+4x^2-121)/(52x)=(12+x^2)/(13x),
所以(36+x^2-y^2)/(12x)=(12+x^2)/(13x)，
所以13（36+x^2-y^2）=12(12+x^2),
468+13x^2-13y^2=144+12x^2,
x^2-13y^2=-324,
同理，cosC=(4+x^2-y^2)/(4x)=(121+4x^2-169)/(44x)=(x^2-12)/(11x),
11(4+x^2-y^2)=4(x^2-12),
44+11x^2-11y^2=4x^2-48,
7x^2-11y^2=-92.
-×7，得80y^2=2176,
所以正方形DEFG的面积=y^2=27.2.
14. 已知：在ABC中，D是BC的中点，∠ADB=45°，∠B=3∠C.求∠C,
解：设BD=DC=1.
在ADC中，∠CAD=45°-∠C,由正弦定理，
AD=sinC/sin(45°-C),
在ABD中∠BAD=135°-3C,由正弦定理，
1/sin(135°-3C)=[sinC/sin(45°-C)]/sin3C,
所以sin3C/sinC=sin(135°-3C)/sin(45°-C),
3-4sin^C=3-4sin^(45°-C),
∠C是小于45°的锐角，
所以sinC=sin(45°-C),
所以C=45°-C,
所以∠C=22.5°。
15. 已知：E,F分别在ABC的边CA,AB上，BE和CF交于O,BOF,BOC,COE的面积分别是3,4,2.
求四边形AEOF的面积。
解：设四边形AEOF的面积为S.
易知BO/OE=4/2=2,
所以OE/BE=1/3,
同理，CO/OF=4/3,
所以OF/CF=3/7.
连AO并延长交BC于D,由西瓦定理，
OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
所以SOBC/SABC+1/3+3/7=1,
4/(9+S)=5/21,
5(9+S)=84,
9+S=16.8,
S=7.8,为所求。
