百度网数学题选答40(2)
2026-02-26 09:55阅读：
百度网数学题选答40(2)
4.解方程组：1-x^2=y,(1)
1-y^2=z,(2)
1-z^2=x。（3）
解：把(2)代入(3),1-(1-2y^2+y^4)=x,
2y^2-y^4=x,(4）
把(1)代入（4），2（1-2x^2+x^4）-(1-4x^2+6x^4-4x^6+x^8）=x,
整理得x^8-4x^6+4x^4+x-1=0,
分解因式得x^2+x-1=0或f(x)=x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1=0,
解得x=（-1土√5）/2，
代入(1),y=x=(-1土√5)/2,
代入(2),z=y=(-1土√5)/2.
下面求f(x)的极值：
f'(x)=6x^5-5x^4-8x^3+3x^2+2x=0,
x1=0或g(x)=6x^4-5x^3-8x^2+3x+2=0，
x2≈-0.863548,x3≈-0.398832，x4≈0.68708，x5≈1.408634,
f(x2)≈0.884469，f(x3)≈1.059137
，f(0)=1,
f(x4)≈1.302803，f(x5)≈0.171178，
所以f(x)=0无实根。
于是只有两个实数解：x=y=z=(-1土√5)/2.
5.在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E在平行四边形ABCD的内部，DE=AE,
∠BCE=2∠CBE,AB=3,BE=5,求AD.
解：作AM⊥BC于M,过E作FG⊥AD于F,交BC于G.在GB上截取GH=CG,连EH,作HI⊥BE于I.
在平行四边形ABCD中AB=3,∠ABC=60°，则BM=1.5，
AE=DE,
∴AF=FD=MG,设为x,则BG=x+1.5,GH=GC=x-1.5,
BH=BG-GH=3,EH=EC,
在BCE中，BE=5,∠EHC=∠BCE=2∠CBE,
∴∠BEH=∠EHC-∠CBE=∠CBE,
∴BH=HE,BI=IE=2.5,
∴BEGBHI,
∴BG/BI=BE/BH,即(x+1.5)/2.5=5/3,
x+1.5=25/6,
x=8/3,
∴AD=2x=16/3.
6.已知：ABCD是凸四边形，∠E是给定的角。
求作：四边形MNPQ,使它的一内角等于∠E,且面积等于四边形ABCD的面积。
解：1.作一个平行四边形，使它的面积等于四边形ABCD的面积：
分别取AB,BC,CD,DA的中点F,G,H,I,顺次连接FG,GH,HI,IF,AC,BD,
易知FG=AC/2=HI,GH=BD/2=FI,
∴平行四边形FGHI的面积=（1/2）四边形ABCD的面积，
延长FG至M,使GM=FG,延长IH至N,使IN=IH,连MN。
则平行四边形FMNI的面积=2×平行四边形FGHI的面积=四边形ABCD的面积，
2.作∠NMQ=∠E,MQ交直线FI于Q,作QP=MN,连NP,
则平行四边形MNPQ的面积=四边形FMNI的面积=四边形ABCD的面积。
7.已知：正方形ABCD和AEFG分别是边长为4,3是正方形，点G在AB上。正方形CHIJ在正方形ABCD外，点H在边BC上。矩形AMNI的边MN过点F.
求：矩形AMNI的面积。
解：以边长为4的正方形左下顶点D为原点，以横边DA为x轴，纵边DC为y轴建立直角坐标系，矩形的左下顶点A为(4,0)，左上顶点I为(a,4+a)(a>0),
直线AI:y=(4+a)(x-4)/(a-4),即（4+a）x+(4-a)y-4(4+a)=0,
蓝色矩形的AI的对边MN经过点C(7,3),C到AI的距离
d=|3(4+a)+3(4-a)|/√[(4+a)^2+(4-a)^2]
=24/√(32+2a^2),
AI=√[(4-a)^2+(4+a)^2]=√(32+2a^2),
矩形AMNI的面积=AI×d=24.
8. 已知：点C在以AB为直径的半圆上，ABC的内切圆切AB于D,DE⊥AB交半圆于E,DE=2.
求ABC的面积。
解：设ABC的内切圆半径为r,易知∠C=90°，
(AC-r)(BC-r)=AD*BD=DE^2=4,
整理得AC*BC-r(AC+BC)+r^2=4,
由勾股定理，AC^2+BC^2=AB^2=(AC+BC-2r)^2,
化简得2AC*BC-4r(AC+BC)+4r^2=0,
两边都除以4，得(1/2)AC*BC-r(AC+BC)+r^2=0,
-，得 ABC的面积=（1/2）AC*BC=4.
