幂概念的应用
2024-03-27 11:28阅读：
幂（power）是乘方的简称，初中课本定义为“乘方的结果”，高中课本定义为“一个数自乘若干次的形式”；前者强调幂运算的值，后者强调运算过程，两者从不同角度描述了幂概念，由浅入深地引导学生抽象理解和思考。
下文列举指数函数和对数函数的例子讨论如何灵活应用上述定义。
当底数大于0且不等于1时，指数函数与对数函数互为反函数。方便起见，两者均取e为底，自变量和应变量分别用x和y表示。因两者互为反函数，故“指数”和“幂”两个术语可在不同表达式中直接转移使用。
【例1】讨论y
= e^x
这是简单指数函数方程，计算过程简称“乘方指求幂”。
根据初中定义，式中等号表示等值；根据高中定义，等号表示两边概念等价。也就是说，
y和e^x都表示幂，只是形式不同。
【例2】讨论y
= ln x
这是简单对数函数方程，计算过程简称“对数幂求指”。
此处直接将对数计算的对象称作“幂”，即转移使用指数函数中“幂”的概念（参见例1）。中学课本将对数计算的对象称作“真数”，在讨论指数函数与对数函数关系时并无必要。
【例3】讨论y
= e^(ln x)
这是复合指数函数方程。
用换元法令u = ln
x代入原方程可得简单指数函数方程y = e^u。
换元后的方程y =
e^u描述了原复合函数的主体关系，指数u是自变量，计算过程为“乘方指求幂”；而换元参数方程u = ln
x 描述的是原复合函数的局部关系，幂x是自变量，计算过程为“对数幂求指”。
因主体关系与局部关系同底，故可直接套用“指数”和“幂”术语。在局部关系u =
lnx中x是“e的幂”，而主体关系所求就是“e的幂”。将局部“x是e的幂”套用到主体“所求就是e的幂”，直接得主体方程的解y = x。
该例的讨论结果是高中必背公式e^(lnx) = x。
【例4】讨论y
= ln(e^x)
这是复合对数函数方程。
用换元法令u =
e^x代入原方程可得简单对数函数方程y = lnu。
换元后的方程y =
lnu描述了原复合函数的主体关系，幂u是自变量，计算过程为“对数幂求指”；而换元参数方程u =
e^x描述的是原复合函数的局部关系，指数是自变量，计算过程为“乘方指求幂”。
与例3同理，因主体关系与局部关系同底，故可直接套用“指数”和“幂”术语。在局部关系u = e^x中x是“e的指数”，而主体关系y=lnu所求就是“e的指数”。将局部“x是e的指数”套用到主体“所求就是e的指数”就直接得到主体方程的解y = x。
该例题的讨论结果是高中必背公式 ln(e^x) = x。
【补充说明】
现在的课本将“应变量”称作“因变量”。翻译界对此曾有争辩，认为dependent
variable的本意是“因应其他量的变化而变化的量”，简称“应变量”，不宜称“因变量”（易误解为“作为原因的变量”）。但现在课本习惯用“因变量”术语，也就约定俗成了，反正根据定义理解不望文生义即可。
此外，剑桥国际高中课本用power指代对数表达式，显然有误。原文是“log10(y) is the power that 10 must be raised to in order to obtain
y”（As & A level mathematics: Pure Mathematics 2&3 -
Chapter 2 - Section 2.1 - KEY POINT 2.1），可用exponent或index替换。
