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数学实验：让算理和算法完美融通——提升小学生运算能力的尝试与思考

2021-01-04 12:27阅读：

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数学实验：让算理和算法完美融通
——提升小学生运算能力的尝试与思考

刘正松
摘 要：小学阶段是学生运算能力形成的重要时期，良好的运算能力离不开“数的运算”具体内容的学习，其中，“理解算理”和“掌握算法”是计算教学的两个核心。基于小学生的认知规律与年龄特征，精选“数的运算”的关键节点内容，设计数学实验，引导学生“做中学”，融通算理和算法，提升小学生的运算能力。
关键词：运算能力；数学实验；算理；算法

运算是数学学科的重要内容，它是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是解决数学问题的基本手段。在义务教育阶段的数学课程内容中，运算占有很大的比重，它不仅是“数与代数”领域的重要内容，“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”等领域也与运算有着密切的联系。学生在学习数学的过程中，会花费较多的时间与精力去学习和掌握各种运算知识与技能，从而逐步发展运算能力。
一、小学生运算能力的内涵特征
小学阶段是学生运算能力形成的重要时期，伴随着学生知识结构和年龄特征的不断变化，正整数、自然数、整数、分数数系的不断扩充，“掌握必要的运算技能”作为重要的知识技能目标贯穿于义务教育三个学段。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“运算能力”作为十个核心概念之一，认为“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”[
1]
《普通高中数学课程标准（2017年版）》将“数学运算”作为数学学科六大核心素养之一，明确指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。其主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。[2]
笔者以为，就小学生而言，良好的运算能力是指在理解算理的基础上，根据法则、公式等正确熟练地进行运算，并能根据解决问题的需要寻求合理简洁的运算途径和方法。自然，“正确熟练”和“合理简洁”是良好运算能力的外显特征。这里，“正确熟练”是运算能力的基本要求，指向学生能按照一定的程序和步骤进行运算，并在适度训练的基础上，不断提高运算的熟练程度，力求运算顺畅，减少失误。“合理简洁”则是运算能力的高阶要求，指向学生清晰理解运算的算理，并能在多种运算路径与方法中主动选择最优化的算法。
二、小学数学运算教学的关键节点
良好运算能力的形成不是一蹴而就的，其发展离不开具体的计算教学，且整体呈现从简单到复杂、从具体到抽象、从低级到高级的基本趋势。为理清学生运算能力发展的层次性与阶段性，我们对小学不同学段“数的运算”学习内容及其关键节点进行了梳理（见表1）：
表1 小学“数的运算”学习内容关键节点
学 段
 第一学段
 第二学段
关键节点
 1.进位加法
2.退位减法
3.两、三位数乘一位数
4.两、三位数除以一位数
 1.小数乘整数
2.除数是整数的小数除法
3.乘法分配律
4.异分母分数加减法
5.分数乘分数
6.分数除以整数














无疑，上表中列出的小学“数的运算”学习内容的关键节点是学生运算能力的“生长点”与“延伸点”，自然也是学习的重、难点，瞄准这些关键节点内容，逐一突破，学生运算能力将得以有效提升。
三、基于数学实验的教学尝试
传统意义上，不少老师将计算当作获取结果的工具，认为计算的过程是一种人为规定，简单地告诉学生怎么写、怎么算就行，如此教学，使得学生只知其然，不知其所以然，无形中淡化了计算教学的育人价值，给学生学习带来诸多不必要的困扰。
其实，“理解算理”和“掌握算法”是“数的运算”相关内容教学的两个核心。算理是计算过程中的道理，解决“为什么这样算”的问题，算法是计算的方法，解决“怎样算”的问题，两者不能偏颇。实践表明，直观与具体是理解算理、提炼算法的重要方法和手段。对此，数学实验具有先天的优势，它借助学生身边简单的工具，侧重于引导学生动手“做”数学，并在这一过程中实现“算理”与“算法”的融通，使得学生的运算能力稳步提升。我们选取几个关键节点内容进行了尝试：
（一）退位减法（隔位退位减法）
学情分析：20以内退位减法是学生学习减法计算的一个难点，但在退位减法中，隔位退位减法无疑是最难的。学生先前的计算经验中，算到某一位不够减时，向前一位借1即可。而隔位退位减法计算时，当学生遇到某一位不够减时，向前一位借1，前一位是0，需要再向前一位借1，进而展开后续计算。很明显，这样的减法思维程序复杂许多，学生需在脑海中储存一系列信息，在清晰每一步退位的来龙去脉之后才能正确计算，对学生的思维要求极高。
教学关键：借助计数器操作实验理解算理，进而提炼算法。
实验工具：计数器。
教学设计：
1.计数器计算204－108。
（1）出示主题图，学生根据情境提出问题并列式：204－108。
（2）学生尝试用计数器计算204-108。
（3）指名演示并介绍计算过程：
在计数器上拨出204；
个位4减8不够，向十位借1，十位是0，再向百位借1，因为1个百=10个十，百位拨去1颗珠，退到十位上变为10颗珠；
再从十位上拨去1颗珠，退到个位上变为10颗珠，这样个位上共14颗珠；
个位上14颗珠减去8颗珠，还剩6颗珠；
此时十位上剩9颗珠，减数十位上是0，因此减完差的十位上仍为9；
百位剩1颗珠，减数百位是1，减完得0，这样算出最后结果为96。
（4）学生根据演示再次用计数器计算一遍。
2.回顾计数器计算204－108的过程。
（1）出示204－108计数器计算示意图（见图1）。
数学实验：让算理和算法完美融通——提升小学生运算能力的尝试与思考
图1 204－108计数器计算示意图
（2）指名学生复述计数器操作计算的过程。
3.竖式计算204－108。
（1）学生尝试竖式计算（见图2）。
数学实验：让算理和算法完美融通——提升小学生运算能力的尝试与思考
图2 204－108竖式计算
（2）集体交流方法：关键明确被减数十位上“0上打点看作9”。
（二）两、三位数除以一位数
学情分析：学生学习两、三位数除以一位数的基础是加、减法、表内除法，以及两、三位数乘一位数，而先前的竖式计算都是从最低位算起，列竖式时都是从上往下逐步计算。这些经验对于两、三位数除以一位数的计算并没有实质性的借鉴意义，两、三位数除以一位数的算理、算法是全新的，学生理解算理、掌握算法都有一定难度。教学中，以两位数除以一位数为突破口，学生一旦领悟其算理和算法，将自然类推到三位数除以一位数。
教学关键：整合单元教学内容，通过小棒操作实验理清算理，形成算法。
实验工具：小棒或小方块。
教学设计：
1.小棒计算46÷2。
（1）出示主题图，学生列式：46÷2。
（2）学生尝试口算结果并分小棒验证。
（3）指名演示并介绍操作过程：
方法一：先分十位的4捆小棒，每份2捆，再分个位的6根小棒，每份3根，把两次分的结果合起来是23；
方法二：先分个位的6根小棒，每份3根，再分十位的4捆小棒，每份2捆，把两次分的结果合起来是23。
2.小棒计算52÷2。
（1）学生尝试分小棒计算。
（2）指名演示并介绍操作过程：
方法一：先分十位的5捆小棒，每份2捆，剩下1捆，把剩下的1捆拆开和个位的2根小棒合成12根分，每份6根，把两次分的结果合起来是26；
方法二：先分个位的2根小棒，每份1根，再分十位的5捆小棒，每份2捆，剩余1捆，把这1捆拆开继续分，每份5根，把三次分的结果合起来是26。
（3）引导比较：哪种分法更方便？
通过交流明确：分两步分更方便，先分十位，再分个位。
3.小棒计算52÷4。
（1）学生尝试分小棒计算。
（2）指名演示并介绍操作过程：
先分十位的5捆小棒，每份1捆，剩下1捆，把剩下的1捆拆开和个位的2根小棒合成12根继续分，每份3根，把两次分的结果合起来是13。
4.回顾小棒计算46÷2的过程。
（1）出示小棒计算示意图（见图3）。
数学实验：让算理和算法完美融通——提升小学生运算能力的尝试与思考
图3 46÷2小棒计算示意图
（2）指名学生复述小棒操作计算的过程。
5.竖式计算46÷2。
（1）学生尝试竖式计算（见图4）。
数学实验：让算理和算法完美融通——提升小学生运算能力的尝试与思考
图4 46÷2竖式计算
（2）集体交流方法：关键明确用小棒计算时从高位起，分两步算，列竖式计算同样从高位起，分两步算。
（三）乘法分配律
学情分析：在小学阶段的数学学习中，乘法分配律是学生所学运算律中运用最为广泛的，它适用于整数、小数、分数四则运算。但学生学习乘法分配律更多的是从表面上记住乘法分配律的形式，而不是从本质上理解乘法分配律的实质。因此在应用乘法分配律解决问题时便会出现各种错误。
教学关键：运用多种方式进行表征，建构乘法分配律基本模型。
实验工具：三种规格的长方形彩纸。
教学设计：
1.拼长方形。
出示：红色、黄色、蓝色三张长方形纸片（见图5），从中选择两张拼成一个大的长方形。
数学实验：让算理和算法完美融通——提升小学生运算能力的尝试与思考
图5 三种长方形纸片
学生动手操作，集体展示（见图6）：
红+黄 黄+蓝
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图6 长方形纸片拼合示意图
2.计算面积。
列式计算拼成的大长方形的面积。
（1）学生测量。
红色长方形：长64毫米，宽46毫米；
黄色长方形：长46毫米，宽36毫米；
蓝色长方形：长54毫米，宽36毫米。
（2

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