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基于工具视角的数学实验育人价值

2021-05-30 09:39阅读：

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基于工具视角的数学实验育人价值
刘正松
摘 要：当学科育人成为教育教学活动的终极追求时，变革教学方式的重要性再次凸显，数学实验成为学生喜闻乐见的学习方式。但数学实验教学的顺利开展离不开相应工具的支撑，它是学生经历知识形成过程的重要载体。小学数学实验工具主要是指小棒、小方块、三角尺等垂手可得的实物类工具。这些工具的发展历程浸润着数学精神，应用过程孕育着数学思想，共同彰显着数学学科独特的育人价值。
关键词：数学实验；工具；小学数学；学科育人

数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动。[1
]数学实验教学的顺利开展离不开相应工具的支撑，在教育教学活动的对象和目的从“知识”向“学生”嬗变的当下，学科育人成为教育教学活动的终极追求，而数学实验工具的发展历程和应用过程都彰显着数学学科独特的育人价值。笔者以小棒为例，谈一谈数学实验过程中育人价值的渗透。
一、数学精神在工具发展历程中浸润
就小学数学而言，所用的工具并非那些高端的精密仪器，大多都是一些实物类工具，这些工具帮助学生理解数学、发现数学、验证数学，是学生经历知识形成过程的重要载体。数学实验工具是学生经历知识形成过程的重要载体。[2]以记数、计算的相关知识学习为例，今天课堂上学生轻松自如地借助小棒认识0-9这10个数字，采用十进制计数法表示任意大小的自然数。而纵观人类的记数史，从古人用自己的手指记数、计算起，人们先后采用了石头、结绳、刻痕、算筹、算盘等工具记数、计算。
随着科技的发展，人类的进步，人们还在不断改进、发明一些更为先进的工具：计数器、计算器、计算机……它们拥有着更强大的功能。回顾人类记数和计算工具的演变史，我们不难看出，这是一个不断追求简捷、高效、卓越的过程。数学是人类文化的重要组成部分，在漫长的历史长河中，人类孜孜以求，勇于创新，这种精神正是数学的精神。结合记数和计算知识的学习，引领小学生了解这些工具的演变史，感受人类的探索、创新精神，激发学生的民族自信心，数学精神自然也会在这样的过程中潜移默化地得以浸润。
二、数学思想在工具应用过程中孕育
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。[3]史宁中教授把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理和模型。工具在三大数学基本思想孕育的过程中起着不可或缺的作用。
（一）工具是抽象的媒介
抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。小学生进入学校初学数学首先要系统地认数，认数的过程就是从一些具体的实物中抽象出一般的规律，然后用数学符号予以表征的过程。在这一过程中，小棒作为具体实物与数学符号对接的媒介，至关重要。
虽然在正式进入学校学习前，学生在日常生活中都会接触数量不同的具体实物：1个西瓜、2个茄子、3朵花、4只小鸟、5颗星、6个人、7只蝴蝶、8颗樱桃、9个苹果……但此时只是感性的认识。在实际教学过程中，我们引导学生在数这些物体数量的同时，用小棒一一对应地摆出来，原本形态各异的物体用小棒替代后，在不知不觉中舍去了不同物体的外在形象，将学生的注意力聚焦于数量的多少上，小棒的数量也就是物体的数量，这为进一步抽象出1、2、3、4、5、6、7、8、9各数向前跨出了重要的一步。
当学生认识了1-9各数后，接着要认识20以内的数。如果这时还是和先前一样，用小棒一根一根地摆出20以内的数显然比较麻烦，于是，“十进制计数法”便在人们的实践中诞生了。“十进制计数法”是中国古代劳动人民记数智慧的结晶，正因为有了“十进制计数法”，人们才能用0-9这十个数字组合成任意大小的数。回顾学生记数、认数的全过程，可以说认识“10”是这一过程中的重要节点，教学时，在学生数出10根小棒的基础上，拿出皮筋，捆成一捆，这一动作形象直观地诠释了“十进制计数法”的本质——“满十进一”，创生了“十”这样一个新的计数单位。学生再次看到这样的一捆小棒就知道表示一个“十”，有了这一基础，他们表示11、12、13……这些数时，不用再一根一根地数出相应根数的小棒了，只要拿出1捆小棒，再添上几根，便可以快捷地表示出11、12、13……各数，进而真正体验到计数单位带来的便利。当然，后续认识更大的数时，我们还可以将这样的10捆小棒捆成更大的一捆，从而认识更大的计数单位——“百”。
今天，学生在课堂上大都沿着“数具体实物—小棒表征（百数板表征）—计数器表示—数学符号表示”这一路径认数，这是一个不断抽象的过程，通过抽象，引领学生快速经历人类曾经走过的漫长的探索过程，其中，“小棒表征”是最为关键的一步。
（二）工具是推理的桥梁
推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中常用的思维方式。从某种程度上说，数学计算的过程就是推理的过程。小学数学的教学内容中，计算占据很大的篇幅，“理解算理、掌握算法”是计算教学的核心。有了小棒的支撑，学生可以直观形象地理解算理，有根有据的提炼算法，推理能力也在这一过程中自然发展。
以“两位数除以一位数”教学为例，在学习这一内容之前，学生已有的计算经验是表内乘、除法和加法、减法、乘法竖式计算，而这些方法与除法竖式计算的方法截然不同，自然是教学的重难点，我们可以用“小棒实验”来帮助学生理解两位数除以一位数的算理，形成正确的算法。
第一步：分小棒计算46÷2
46÷2是把46平均分成2份，取出46根小棒（4捆和6根），可以先分6根，再分4捆；也可以先分4捆，再分6根。两种分法都能很快得出每份是2捆和3根，即23根。所以46÷2=23。
第二步：分小棒计算52÷2
取出52根小棒，同样，可以先分2根，每份1根，再分5捆，每份2捆，还余1捆，把余下的1捆拆开，得到10根，平均分成2份，每份5根，将3次分得的小棒合起来，每份是26根；也可以先分5捆，每份2捆，还余1捆，接着把这1捆拆开和2根合起来，得到12根，继续分，每份6根，将两次分得的小棒合起来，每份也是26根。相比之下，第二种分法更为方便。
第三步：分小棒计算42÷3
取出42根小棒，这时2根没法平均分成3份，只能先分4捆。将4捆小棒平均分成3份，每份1捆，还余1捆，把这1捆拆开，和2根合起来得到12根，再次平均分成3份，每份4根。所以42÷3=14。
通过三次实验，我们发现先分整捆的小棒更合理，这也说明列竖式计算两位数除以一位数时从十位算起更合理。
第四步：列竖式计算
出示46÷2，引导学生回忆小棒操作的过程，尝试列竖式记录分小棒的过程，用小棒计算时分两步，列竖式计算同样分两步。当学生掌握了两位数除以一位数的算理和算法，自然可以迁移到三位数除以一位数和三位数除以两位数的计算。
这里，学生在用小棒实验的过程中，自然会产生不同的方法，通过比较，逐步体验更为合理的操作方法，为学生理解算理、形成算法积累了充分的操作经验，使得两位数除以一位数的算理和算法在“动手实验—表象操作—符号操作”的过程中（见图1）完美融通，学生的求真精神也会在不断肯定与否定的思辨过程中得以充分发展。
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图1 46÷2算理理解和算法提炼过程
（三）工具是建模的支架
小学数学教学内容中，模型无处不在，数学概念、公式、法则等都是数学模型。回顾这一个个数学模型建立的过程，总离不开工具的身影。
这里以苏教版小学数学教材中“用字母表示数”的内容编排为例。这一单元内容的学习旨在引领学生经历由数字表示数到用字母表示数、由日常语言表示数量关系到用符号语言表示数量关系的抽象过程，是学生数学思维发展的一次跨越，也是学生进一步学习代数知识乃至其他数学知识的重要基础。教材在编排例题时多次用到小棒：
教材例1通过用小棒摆三角形的直观操作（见图2），让学生用乘法算式表示摆2个、3个、4个……三角形所用小棒的根数，学生在摆三角形和写乘法算式的过程中很快会意识到这样摆下去是没完没了的，进而进一步分析题目中的数量关系以及所列出的乘法算式的共同特点，在学生思维的积极参与下，他们纷纷想到用字母a表示三角形的个数，并尝试用含有字母的式子“a×3”表示摆a个三角形所用小棒的根数。至此，学生凭借小棒摆三角形的直观操作，建立“a×3”这一表示“摆a个三角形所用小棒的根数”的数学模型，自然经历了由具体的数到抽象的字母、由具体的算式到含有字母的算式的抽象概括过程。
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图2 苏教版小学数学教材五年级上册“用字母表示数”例1
教材例4仍用小棒摆三角形这一直观操作（见图3），但变换了摆的方式，先摆1个三角形用3根小棒，接着增加1个三角形，多用2根小棒，依此类推，通过这样增加2个、3个……三角形的分步操作，理解增加的三角形个数与一共要用的小棒根数之间的数量关系，初步明确：每增加1个三角形，所用小棒的根数就会多1个2。那么，在第1个三角形的基础上，增加几个三角形，小棒的根数就会多出几个2。有了这一认知基础，学生便可以用“3＋2×a”这一数学模型表示增加a个三角形一共要用的小棒根数。根据这一数学模型，我们便可以随机算出增加不同个数的三角形一共所用小棒的根数。都说“动作是思维的起点”，试问，倘若没有小棒摆三角形的操作，直接呈现相应的问题，学生建立这一模型还会如此顺畅吗？
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图3 苏教版小学数学教材五年级上册“用字母表示数”例4
教材例7依然用小棒摆简单平面图形，不同的是摆了两行：第一行摆a个三角形，第二行摆a个正方形（见图4），并一一对应地排好。启发学生思考：一共要用多少根小棒？学生在独立思考后，集体交流，一般会得出两种不同的想法：第一种是分成两行看，第一行摆a个三角形用3a根小棒，第二行摆a个正方形用4a根小棒，一共用3a＋4a根小棒；第二种是竖着看，摆一组（一个三角形和一个正方形）用7根小棒，摆a组共用7a根小棒。学生得出两种不同的式子不是学习的结束，进一步组织讨论：3a＋4a和7a相等吗？学生会联系摆小棒的过程给出不同的解释：其一，这两个式子都表示所摆图形所用小棒的根数，应该相等；其二，根据乘法分配律可以发现相等；其三，从乘法的意义进行推想，3个a加4个a等于7个a。这样，学生便建立“3a＋4a=7a”这一数学模型，将乘法分配律拓展到了代数范围，无疑，小棒的直观操作功不可没。
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图4 苏教版小学数学教材五年级上册“用字母表示数”例7
小棒，一种至简的工具，却在学生感悟数学思想的过程中发挥着重要的作用，它将抽象的记数和计算过程形象地展现在学生眼前，轻松化解学习难点。当然，抽象、推理、模型三大数学思想并非截然分开的，它们总是有机的交融在一起，我中有你，你中有我，这也启示我们在教育教学活动中不能简单地逐一渗透，而应通盘考虑，整体感悟。
*本文系2019年江苏省基础教育前瞻性教学改革实验重大项目《数学实验：义务教育数学学科育人的创新实践》阶段性研究成果。
参考文献：
[1]喻平，董林伟.初中数学实验的本质解析[J].课程·教材·教法，2016（08）：

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