FEM之单元(1)---三角单元介绍

本文可以当做有限元的小品文看，目的是对有限元理论进行小结。
1.一阶三角形场函数
三角形单元因生成容易，计算简单，容易加密，成为有限元分析中最常用的单元。 针对一阶单元，即一个三角形有三个点。
对于任意一个三角形，假设三顶点坐标点为（x1, y1） (x2, y2) (x3, y3), 三点的场函数分别定义为点Fx1, Fy1, Fx2,Fy2, Fx3,Fy3
三角形内任意一点的场函数可以表示为
Fx=a1+a2*x+a3*y
Fy=b1+b2*x+b3*y
其中Fx为x方向的场函数，Fy为y方向的场函数，a1, a2, a3, b1, ,b2, b3为常数项。
由于已知三点坐标，即在三点上也满足上式。将三点的坐标带入上式，可得6个方程。例：
Fx1=a1+a2*x1+a3*y1
a1, a2, a3, b1, ,b2, b3共6个变量，6个方程，可以求出：
a1=((x2*y3-x3*y2)*Fx1+(x3*y1-x1*y3)*Fx2+(x1*y2-x2*y1)*Fx3)/(2*A)
b1=((x2*y3-x3*y2)*Fy1+(x3*y1-x1*y3)*Fy2+(x1*y2-x2*y1)*Fy3)/(2*A)
其中A=((x2*y3-x3*y2)+(x3*y1-x1*y3)+(x1*y2-x2*y1))/2
公式看起来比较繁琐，这些转换的目的只有一个：为了让场函数能用 三角形的三个顶点的坐标来表示。
将求解出来的 a1,a2,a3,b1,b2,b3 带入到
Fx=a1+a2*x+a3*y
Fy=b1+b2*x+b3*y
中：
可以得到新的表达式：
Fx=N1*Fx1+N2*Fx2+N3*Fx3
Fy=N1*Fy1+N2*Fy2+N3*Fy3
其中
N1=(x2*y3-x3*y2)+(