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2.1同步辐射基本理论（1）

2012-06-08 12:30阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1783740791

从本节开始将介绍同步辐射的产生机理，相关的理论推导过程，以及弯转磁铁、wiggler、Undulator等发光元件的发光机理等。下面先从运动点电荷的辐射发光理论开始介绍

1. 运动点电荷的电磁场
在Gaussian单位系统中Maxwell方程为
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.1
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.2
 2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.3
 2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.4
为了求解Maxwell方程组，引入矢势 2.1同步辐射基本理论（1）和标矢 2.1同步辐射基本理论（1）。由（2.1.2）式可知 2.1同步辐射基本理论（1）可以表示为一矢量 2.1同步辐射基本理论（1）的旋度，即
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.5
将（2.1.5）式代入（2.1.3）式可以得到：
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.6
由于梯度场的旋度为0，故可将（ 2.1同步辐射基本理论（1））表示成 2.1同步辐射基本理论（1），即有：
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.7
式中 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）分别为电磁场的标量势和矢量势。一个矢量场 2.1同步辐射基本理论（1）被它的旋度和散度完全定义，而这里的 2.1同步辐射基本理论（1）只定义了其旋度，故不能完全确定 2.1同步辐射基本理论（1）。即有一组 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）满足（2.1.7）式，则对任意的 2.1同步辐射基本理论（1），求出的 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.8
亦能满足（2.1.7）式。（2.1.8）式规定的变换称为规范变换。当 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）作规范变换时，其对应的 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）均保持不变，即描述的电磁场不变。这种不变性称为规范不变性。利用该不变性可以使求解电磁场的方程简化。
将（2.1.7）式代入（2.1.1）式可得
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.9
将（2.1.7）式代入（2.1.4）式，可得
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1同步辐射基本理论（1） 2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.10
将（2.1.9）式和（2.1.10）式，改写为
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.11
如果选择 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1），使其满足如下条件
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.12
则（2.1.11）式可简化为
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.13
即 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）满足波动方程，并分别以 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）为源。（2.1.12）式称为Lorentz条件。满足（2.1.12）式的 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）称为在Lorentz规范下的 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）。（2.1.13）式为Lorentz规范下 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）遵守的波动方程。
求解（2.1.13）式的波动方程，可得
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.14
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.15
其中 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）分别为观察点和荷电粒子的位置坐标。由上式可以看出，t时刻的标势 2.1同步辐射基本理论（1）和矢势 2.1同步辐射基本理论（1）是由更早时刻（ 2.1同步辐射基本理论（1））的电荷分布决定的。（ 2.1同步辐射基本理论（1））称作推迟时间， 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）称为推迟势。
2.1同步辐射基本理论（1）

图2.1.1 运动点电荷
对如图2.1.1所示的运动点电荷情况，（2.1.4）式和（2.1.15）式变为：
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.16
上式推导中利用了如下公式：
2.1同步辐射基本理论（1）
利用与（2.1.16）式类似的推导可得：
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.17
式中ret表示推迟势时间，即上式中的物理量需用 2.1同步辐射基本理论（1）时刻的值。e为电子电荷； 2.1同步辐射基本理论（1）为 2.1同步辐射基本理论（1）方向的单位矢量； 2.1同步辐射基本理论（1）为相对论速度。
（2.1.16）式和（2.1.17）式表示的标矢和矢势称作运动点电荷的Lienard-Wiechert势，将其带入（2.1.7）式，可以求出运动点电荷的电磁场：
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.18
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.19
其中：
e是电子点电荷；c为光速；
2.1同步辐射基本理论（1）；
2.1同步辐射基本理论（1）， 2.1同步辐射基本理论（1）为电子的运动速度；
2.1同步辐射基本理论（1） ， 2.1同步辐射基本理论（1）为电子的运动加速度；
2.1同步辐射基本理论（1）是观测点与电荷在 2.1同步辐射基本理论（1）时刻位置间的距离；
2.1同步辐射基本理论（1）是 2.1同步辐射基本理论（1）矢量的单位矢量。
式中的ret的含义是： 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）是t时刻的电场和磁场；而γ， 2.1同步辐射基本理论（1）， 2.1同步辐射基本理论（1）， 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）应为 2.1同步辐射基本理论（1）时刻的值， 2.1同步辐射基本理论（1）早于t时刻，即t时刻的场是由 2.1同步辐射基本理论（1）时刻的源产生的。
由（2.1.18）式和（2.1.19）式可知，电磁场可以分为两项： 2.1同步辐射基本理论（1）、 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）、 2.1同步辐射基本理论（1）。 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）为式中的第一项，与粒子加速度无关，当 2.1同步辐射基本理论（1）增大时，以 2.1同步辐射基本理论（1）趋于零。 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）为式中的第二项，与粒子加速度值成正比，当 2.1同步辐射基本理论（1）增大时，以 2.1同步辐射基本理论（1）趋于零。在同步辐射中起作用的为电磁场的第二项 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1），即
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1.20
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1）、 2.1同步辐射基本理论（1） 和 2.1同步辐射基本理论（1）三者互相垂直。

2.2 瞬时能流密度
Poynting矢量给出瞬时能流密度：
2.1同步辐射基本理论（1）
2.1同步辐射基本理论（1） 2.1同步辐射基本理论（1） 2.2.1
式中（ 2.1同步辐射基本理论（1））为在t时刻在观察点测到的单位面积的辐射功率，其为荷电粒子在时刻 2.1同步辐射基本理论（1）发射的。可以看出：（a） 2.1同步辐射基本理论（1）和 2.1同步辐射基本理论（1）之间的空间相对位置关系决定了角分布的形式。（b）当由带电粒子的静止参考系变换到观察者的参考系时，相对论效应显现由式中分母中因子 2.1同步辐射基本理论（1）控制，其决定了角分布的变换。

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