世界性难题与世界性错误的两个1+1问题
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SPAN>严密性。
哥德巴赫猜想的“1+1”问题是一个高端的世界性大难题，它需要高深的数学知识才能去研究和证明，这里我们就先不去研讨它了。我们只是通过它来说明数学的严密性和人们对数学研究的严谨态度。
数学是一门具有严密逻辑推理要求和与实际生活相符合的自然科学，它容不得半点虚伪与无据。它的每一个结论与推导过程都必须是有根有据，必须要有大家公认的自然科学道理和千万次的实践证实。
然而，就是这样一个无比严密的数学，在小学的数学教学上却存在着重大逻辑推理漏洞。最基础的“1+1=2”问题就是一个极不严密的数学判断。
说“1+1=2”是一个极不严密的数学判断，是因为：我们对什么是“1”？什么是“2”？从来就没有一个明确的定义，对于数学计算判定对错也没有提出明确的判定标准。大家都是人云亦云，糊里糊涂的默认。不信请你想一想：你能说清什么是“1”？什么是“2”吗？
一根筷子是不是“1”？一双筷子是不是“1”？一把筷子是不是“1”？一只狗是不是“1”？一群羊是不是“1”？……
两根筷子是不是“2”？两双筷子是不是“2”？两个苹果是不是“2”？两筐苹果是不是“2”？一根筷子加一只狗是不是“2”？……
既然上面所说的这么多都可以是“1”和都可以是“2”，那么“1+1=2”中的“1”指的是哪个“1”？“2”指的是哪个“2”？教学中又是以什么为判定标准来判定它的对错的？教学中有明确规定吗？有规定的话，你觉得合理吗？
你认为：把一根筷子和一只狗合在一起不叫“1+1”、“1只狗加1群羊等于2筐苹果”不在“1+1=2”的表达范围内，这样规定合理吗？符合思维逻辑吗？
把“1+1=2”教学成只能用于相加对的那一类事物，相加结果不对的规定成不能相加或不属于“1+1=2”的范围，这样的教学规定合理吗？这能说“1+1=2”是正确合理的算式吗？这种“打哪指哪”式的正确无误，能让人佩服吗？数学在这里是不是严重背离了严密性和科学性。它对从小培养儿童的科学严密性和数学逻辑思维是不是有重大的不良影响。
事实上，“1+1=2”是一个代代相传的手指（即小棒）认数造成的数和量不分的错误命题。它是一个虽使用了几千年，却存在错误定论的世界性错误命题。是几千年来人们一直把数和量混同在一起教学，把数当成了某种特定量来认识研究的教学错误。
几千年来，由于人们在认识数时，没有认识到数数属于一种形象度量，没有认识到数是由度量产生的一种概念名称，没有把数和量区分开来认识研究。因而造成了“把量的个例实验结论当作了数的普遍规律来使用”的数学逻辑推理错误。
幸好，这一错误结论人们在使用它时，并不是不加思考的完全采纳使用，而是凭借经验根据实际情况，选择了它的正确一面，抛弃了错误一面。并没有造成实际问题上的解题错误。
但是，作为数学科学，错误就是错误。不能因为我们使用中没有出现错误，就说它没有错误。我们使用中没出现错误，是因为我们使用时凭经验，把错误的一面给教学阻止了。
因此说，不指明算式中数字表示的是哪种物体量的：“1+1=2、 2+3=5、2×3=6、…… ”数学四则计算算式，严格说来都是一种存在重大逻辑推理错误的伪命题。都是数量不分的教学错误。
因为，算式中的每个数字都属于一个概念名称，都表达着一个集合群体，每一个算式都应该表示的是几个不同集合群体之间的运算关系。而把群体里个别（或部分）元素之间的运算对应关系，表示为集合群体间的运算对应关系，是不符合数学逻辑的，更是不正确的。
实际上，任何一个不带有单位名称的一般数学算式，都只是属于一个数学模型，并不属于命题判断。小学数学的加、减、乘、除四则计算，都是认数学具操作实验的符号表达式。数学计算是用逻辑思维操作，取代了学具具体操作的简化操作实验表达式。
数学为什么能正确推算出未发生或虽发生了但未见到的实际问题的真实数量结果呢？
数学能够正确研究现实世界中事物的数量关系，能够用计算推理的方法，对未知的事物数量关系进行正确判断预测，是遵循了下面两条基本原理：
1、现实世界中事物的数量关系可以用它的形象代替原物进行研究。
2、事物的数量大小只与度量有关，与事物所在位置无关。
数学能够用符号在书本上和课堂上正确研究现实世界中事物的数量关系，根据的就是这两条基本原理。
因为，客观事物的形象画面可以想象和复制，事物形象画面的大小、多少并不影响事物本身的大小、多少。同一事物可以根据需要，用多种和多个不同大小的形象画面来展现。
所以，这就给数学研究和数学教学带来了极大方便。让人们可以不接触到实际物体，就能对实际物体的数量关系进行正确地分析研究。并且大家可以互不干涉的在相同或不同地点，同时对同一事物的数量关系进行实验研究。
运用物体形象代替原物进行模拟操作实验，就可以实验出未发生或虽发生了但未见到的实际问题真实数量关系情况。而用物体形象代替原物进行模拟操作实验过程，又可以用数学符号表达和进行逻辑推理。这就是数学能正确解决实际问题的奥妙所在！它是数学科学研究的理论基础和教学原理。
数学正确解决实际问题的“两条基本原理”，虽然人们自古以来早已在默默运用，但是却一直没有被明确提出。更没有作为数学逻辑推理的依据来应用于教学。因而也就造成了小学数学上的许多重大教学弊端错误。
数和量不分，“1+1=2”、“2>1”、2×3=6、……之类的把个例实验结论，表达为普遍意义的概念命题关系，都是我们对小学数学缺乏深入研究，教学没有依据数学基本原理，进行严格逻辑推理造成的。
如果我们说“狗比猫大”是一个正确命题，很多人一定会起来反驳争辩，举出众多反例对它进行批判。可为什么我们把“1+1=2、2>1”说成是一个正确命题，就没有人出来反驳争辩呢？反而谁说“1+1=2、2>1”有错误，谁就会受到众人的质疑批判呢？
其实，大家也都知道：“1+1=2”中的“1”和“2”并不是单指的哪一种物体，也知道它表达着各种事物，属于概念范畴。但是就是没有人去置疑它的概念性表达错误。没有人去捅它的“马蜂窝”。
是的，这一“马蜂窝”是不能随便捅的。一捅数学不就毁了根基，不就乱套了吗？说“1+1=2有错误”，就等于说数学的所有算式都存在错误。这不等于否认了数学这门科学，那还了得！！
看来这一“马蜂窝”还真是捅不得。捅不得也得捅！因为错误就是错误，科学就是容不得半点错误。有了错误就必须要纠正，就是乱了套重新建设也要纠正。更何况纠正这一错误并不需要毁坏数学的上层建筑。只要把数和量区分开来，把不带有单位名称的一般数，规定成表示的是一种特定物体的量。而这种特定物体只要既能正确表达其它事物形象，又有自己的具体数量就可以了。
因为，根据“事物的数量关系可以用它的形象代替原物进行研究”这一基本原理，我们在研究哪种事物的数量关系时，就可以用这种特定物体表达哪种事物的形象，然后用事物的形象代替原物进行数量关系研究。而在研究过程中，大家就会自然的发现：研究事物形象的数量关系，就等同于研究表达事物形象的特定物体的数量关系。从而自然地就把事物的形象数量关系与这种特定物体的数量关系同一在一起，让特定物的个例实验结论，巧妙地转化成了一般物体的普遍存在规律。
所以，把不带有单位名称的一般“数”，规定成表示的是一种特定物体的“量”，就可以巧妙地解决“把个例实验结论转化为普遍使用规律”的数学逻辑合情推理问题。就可以解决“不带有单位名称的一般算式”的正确含义和判定对错问题。从而让小学数学的教学错误得以纠正。
那么，这种特定物体现实生活中有吗？有的！它就是“方格认数学具”。因为方格认数学具能展示其它物体的形象画面，能形象代替其它物体，并且具有自身的数量。所以用方格认数学具进行“方格认数理论教学”，就能纠正小学数学存在了几千年的教学错误；就能让糊涂的小学数学变得清晰严密起来。
错不说不知，理不辩不明。学习数学，连什么是“1”什么是“2”都说不清楚；分析数量关系，连什么是“数”什么是“量”都搞不明白；学习数学计算，连数学计算根据的是什么数学原理、判定对错以什么为标准都含混不清。这样的小学数学教学，是不是太有些滑稽可笑了！是不是应该尽快得到纠正！
我尊敬的各位专家、教授、领导和亲爱的同事、大众朋友们：请不要总是昂首关注王冠上明珠类的数学上层建筑问题；也要俯首关心修复加固一下“不堪一击”的数学基石问题。
小学数学教学存在的重大教学错误，是一个几千年的历史性问题，它根深蒂固，影响深远，纠正困难。需要全社会的人们共同努力，来一场全社会的大研讨、大辩论活动，才能使它得到迅速纠正。
为了让这一存在了几千年的教学错误尽快得到纠正，希望看到这篇文章的每一个有爱心、有良心，对儿童教育关心的社会公民，能够引起对此起重视，对它积极进行宣传、转发，并参与研讨、辩论。从而让这一信息尽快得到迅速传播，形成一种全球纠错辩论风波，让错误尽快得到纠正。
朋友们：行动起来吧！为了让我们天真可爱的孩子们，尽快享受到清晰严密的数学教育，打下一个能够自主探究学习的正确坚实数学基础，尽我们每一个人应有的一份微薄之力吧！！
参考文献：
1、小学数学存在重大教学弊端错误
2、你知道数和量是什么关系吗
3、使用方格认数学具
4、如何开展好小学数学建模教学
哥德巴赫猜想的“1+1”问题是一个高端的世界性大难题，它需要高深的数学知识才能去研究和证明，这里我们就先不去研讨它了。我们只是通过它来说明数学的严密性和人们对数学研究的严谨态度。
数学是一门具有严密逻辑推理要求和与实际生活相符合的自然科学，它容不得半点虚伪与无据。它的每一个结论与推导过程都必须是有根有据，必须要有大家公认的自然科学道理和千万次的实践证实。
然而，就是这样一个无比严密的数学，在小学的数学教学上却存在着重大逻辑推理漏洞。最基础的“1+1=2”问题就是一个极不严密的数学判断。
说“1+1=2”是一个极不严密的数学判断，是因为：我们对什么是“1”？什么是“2”？从来就没有一个明确的定义，对于数学计算判定对错也没有提出明确的判定标准。大家都是人云亦云，糊里糊涂的默认。不信请你想一想：你能说清什么是“1”？什么是“2”吗？
一根筷子是不是“1”？一双筷子是不是“1”？一把筷子是不是“1”？一只狗是不是“1”？一群羊是不是“1”？……
两根筷子是不是“2”？两双筷子是不是“2”？两个苹果是不是“2”？两筐苹果是不是“2”？一根筷子加一只狗是不是“2”？……
既然上面所说的这么多都可以是“1”和都可以是“2”，那么“1+1=2”中的“1”指的是哪个“1”？“2”指的是哪个“2”？教学中又是以什么为判定标准来判定它的对错的？教学中有明确规定吗？有规定的话，你觉得合理吗？
你认为：把一根筷子和一只狗合在一起不叫“1+1”、“1只狗加1群羊等于2筐苹果”不在“1+1=2”的表达范围内，这样规定合理吗？符合思维逻辑吗？
把“1+1=2”教学成只能用于相加对的那一类事物，相加结果不对的规定成不能相加或不属于“1+1=2”的范围，这样的教学规定合理吗？这能说“1+1=2”是正确合理的算式吗？这种“打哪指哪”式的正确无误，能让人佩服吗？数学在这里是不是严重背离了严密性和科学性。它对从小培养儿童的科学严密性和数学逻辑思维是不是有重大的不良影响。
事实上，“1+1=2”是一个代代相传的手指（即小棒）认数造成的数和量不分的错误命题。它是一个虽使用了几千年，却存在错误定论的世界性错误命题。是几千年来人们一直把数和量混同在一起教学，把数当成了某种特定量来认识研究的教学错误。
几千年来，由于人们在认识数时，没有认识到数数属于一种形象度量，没有认识到数是由度量产生的一种概念名称，没有把数和量区分开来认识研究。因而造成了“把量的个例实验结论当作了数的普遍规律来使用”的数学逻辑推理错误。
幸好，这一错误结论人们在使用它时，并不是不加思考的完全采纳使用，而是凭借经验根据实际情况，选择了它的正确一面，抛弃了错误一面。并没有造成实际问题上的解题错误。
但是，作为数学科学，错误就是错误。不能因为我们使用中没有出现错误，就说它没有错误。我们使用中没出现错误，是因为我们使用时凭经验，把错误的一面给教学阻止了。
因此说，不指明算式中数字表示的是哪种物体量的：“1+1=2、 2+3=5、2×3=6、…… ”数学四则计算算式，严格说来都是一种存在重大逻辑推理错误的伪命题。都是数量不分的教学错误。
因为，算式中的每个数字都属于一个概念名称，都表达着一个集合群体，每一个算式都应该表示的是几个不同集合群体之间的运算关系。而把群体里个别（或部分）元素之间的运算对应关系，表示为集合群体间的运算对应关系，是不符合数学逻辑的，更是不正确的。
实际上，任何一个不带有单位名称的一般数学算式，都只是属于一个数学模型，并不属于命题判断。小学数学的加、减、乘、除四则计算，都是认数学具操作实验的符号表达式。数学计算是用逻辑思维操作，取代了学具具体操作的简化操作实验表达式。
数学为什么能正确推算出未发生或虽发生了但未见到的实际问题的真实数量结果呢？
数学能够正确研究现实世界中事物的数量关系，能够用计算推理的方法，对未知的事物数量关系进行正确判断预测，是遵循了下面两条基本原理：
1、现实世界中事物的数量关系可以用它的形象代替原物进行研究。
2、事物的数量大小只与度量有关，与事物所在位置无关。
数学能够用符号在书本上和课堂上正确研究现实世界中事物的数量关系，根据的就是这两条基本原理。
因为，客观事物的形象画面可以想象和复制，事物形象画面的大小、多少并不影响事物本身的大小、多少。同一事物可以根据需要，用多种和多个不同大小的形象画面来展现。
所以，这就给数学研究和数学教学带来了极大方便。让人们可以不接触到实际物体，就能对实际物体的数量关系进行正确地分析研究。并且大家可以互不干涉的在相同或不同地点，同时对同一事物的数量关系进行实验研究。
运用物体形象代替原物进行模拟操作实验，就可以实验出未发生或虽发生了但未见到的实际问题真实数量关系情况。而用物体形象代替原物进行模拟操作实验过程，又可以用数学符号表达和进行逻辑推理。这就是数学能正确解决实际问题的奥妙所在！它是数学科学研究的理论基础和教学原理。
数学正确解决实际问题的“两条基本原理”，虽然人们自古以来早已在默默运用，但是却一直没有被明确提出。更没有作为数学逻辑推理的依据来应用于教学。因而也就造成了小学数学上的许多重大教学弊端错误。
数和量不分，“1+1=2”、“2>1”、2×3=6、……之类的把个例实验结论，表达为普遍意义的概念命题关系，都是我们对小学数学缺乏深入研究，教学没有依据数学基本原理，进行严格逻辑推理造成的。
如果我们说“狗比猫大”是一个正确命题，很多人一定会起来反驳争辩，举出众多反例对它进行批判。可为什么我们把“1+1=2、2>1”说成是一个正确命题，就没有人出来反驳争辩呢？反而谁说“1+1=2、2>1”有错误，谁就会受到众人的质疑批判呢？
其实，大家也都知道：“1+1=2”中的“1”和“2”并不是单指的哪一种物体，也知道它表达着各种事物，属于概念范畴。但是就是没有人去置疑它的概念性表达错误。没有人去捅它的“马蜂窝”。
是的，这一“马蜂窝”是不能随便捅的。一捅数学不就毁了根基，不就乱套了吗？说“1+1=2有错误”，就等于说数学的所有算式都存在错误。这不等于否认了数学这门科学，那还了得！！
看来这一“马蜂窝”还真是捅不得。捅不得也得捅！因为错误就是错误，科学就是容不得半点错误。有了错误就必须要纠正，就是乱了套重新建设也要纠正。更何况纠正这一错误并不需要毁坏数学的上层建筑。只要把数和量区分开来，把不带有单位名称的一般数，规定成表示的是一种特定物体的量。而这种特定物体只要既能正确表达其它事物形象，又有自己的具体数量就可以了。
因为，根据“事物的数量关系可以用它的形象代替原物进行研究”这一基本原理，我们在研究哪种事物的数量关系时，就可以用这种特定物体表达哪种事物的形象，然后用事物的形象代替原物进行数量关系研究。而在研究过程中，大家就会自然的发现：研究事物形象的数量关系，就等同于研究表达事物形象的特定物体的数量关系。从而自然地就把事物的形象数量关系与这种特定物体的数量关系同一在一起，让特定物的个例实验结论，巧妙地转化成了一般物体的普遍存在规律。
所以，把不带有单位名称的一般“数”，规定成表示的是一种特定物体的“量”，就可以巧妙地解决“把个例实验结论转化为普遍使用规律”的数学逻辑合情推理问题。就可以解决“不带有单位名称的一般算式”的正确含义和判定对错问题。从而让小学数学的教学错误得以纠正。
那么，这种特定物体现实生活中有吗？有的！它就是“方格认数学具”。因为方格认数学具能展示其它物体的形象画面，能形象代替其它物体，并且具有自身的数量。所以用方格认数学具进行“方格认数理论教学”，就能纠正小学数学存在了几千年的教学错误；就能让糊涂的小学数学变得清晰严密起来。
错不说不知，理不辩不明。学习数学，连什么是“1”什么是“2”都说不清楚；分析数量关系，连什么是“数”什么是“量”都搞不明白；学习数学计算，连数学计算根据的是什么数学原理、判定对错以什么为标准都含混不清。这样的小学数学教学，是不是太有些滑稽可笑了！是不是应该尽快得到纠正！
我尊敬的各位专家、教授、领导和亲爱的同事、大众朋友们：请不要总是昂首关注王冠上明珠类的数学上层建筑问题；也要俯首关心修复加固一下“不堪一击”的数学基石问题。
小学数学教学存在的重大教学错误，是一个几千年的历史性问题，它根深蒂固，影响深远，纠正困难。需要全社会的人们共同努力，来一场全社会的大研讨、大辩论活动，才能使它得到迅速纠正。
为了让这一存在了几千年的教学错误尽快得到纠正，希望看到这篇文章的每一个有爱心、有良心，对儿童教育关心的社会公民，能够引起对此起重视，对它积极进行宣传、转发，并参与研讨、辩论。从而让这一信息尽快得到迅速传播，形成一种全球纠错辩论风波，让错误尽快得到纠正。
朋友们：行动起来吧！为了让我们天真可爱的孩子们，尽快享受到清晰严密的数学教育，打下一个能够自主探究学习的正确坚实数学基础，尽我们每一个人应有的一份微薄之力吧！！
参考文献：
1、小学数学存在重大教学弊端错误
2、你知道数和量是什么关系吗
3、使用方格认数学具
4、如何开展好小学数学建模教学