升力旋翼平飞的理论计算（上）
2020-05-29 01:21阅读：
升力旋翼平飞的理论计算（上）
有容乃大展翅翱翔
前言
作者18年3月曾发“旋转的翼如何产生与旋转平面垂直的升力----
用固定翼飞行理论分析旋翼工作（上）”，在该文中，用固定翼飞行理论和参数分析了处于低速垂直起降或悬停状态下工作的升力旋翼，对旋翼所产生的升力，阻力矩，功率的计算分析，得到相关计算公式。但该组公式只能解决处于垂直起降状态的旋翼分析和设计。而对于只有升力旋翼无固定翼的飞行器，更长时间的飞行状态是水平飞行，在水平飞行中升力旋翼的各物理量如何变化，是个值得研究的重要问题。
最近在思考升力旋翼有关规律中，对当年文章没解决的升力旋翼平飞问题得到合理解决思路，在一定假设下，解决了在某些范围水平速度下，升力旋翼的转速，升力，阻力矩，功率计算简化公式。可以定量解释，在某固定水平速度下一定转速的升力旋翼，瞬时升力阻力矩和功率随翼片方位角变化规律，按圆周平均后，能比零水平速度同转速的升力旋翼产更大的升力的现象。和18年文章一样，推导和结果不一定是前所未有，但确实是作者原创。撰写此文，供有兴趣读者交流，欢迎参考和指证。考虑篇幅，分（上）（下）篇发表。
问题的提出
某升力旋翼为等弦宽b半径
SPAN>（米）
等安装迎角的翼片，各
转轴均垂直，旋转角速度
w
（弧度
/秒）；整体旋翼轴带翼片在匀速转动同时，以速度
Vo沿旋转平面平行方向做匀速直线运动（等效于旋翼处于水平风速
Vo），翼片根部离轴半径
ro<<R。求已知翼片数的旋翼产生升力，阻力矩，以及理论驱动功率简明计算公式。（如需要分析非等弦宽或非等安装迎角旋翼翼片，可按原始算式以数值积分方式编程计算。）本文不涉及直升机整机平飞阻力及其驱动功率分析。
分析方法和基本假定
旋翼平飞速度系数
为方便定量描述旋翼平飞速度，首先引入旋翼平飞速度系数 k
，其定义为：平飞速度Vo与旋翼翼尖旋转线速度wR比值：k=Vo/(wR)。
k值大小，决定了平飞旋翼与悬停或低速垂直起降旋翼工作状态的量值差别。kwR也直接反映平飞旋翼翼尖相对空气的最大速度（1+k）wR，和最小速度（1-k）wR
之间差别2kwR。
运动速度分解合成
采用运动速度分解合成方法，假定翼片每个距轴心r的bxdr面积元在任何瞬间相对空气运动速度，可分解为与翼展垂直方向（沿翼弦方向）及与翼展平行方两个分速度。本文按固定翼飞行理论，按垂直分速度对翼片作用计算出该个面积元产生的升力和阻力。
平行分速度对翼片作用处理：翼展平行方向分速度：VoSINq
与r无关，即整翼片相同。固定翼理论没有提供关于平行分速度升力系数及阻力系数。和垂直分速度相比，暂认定翼展平行分速度对翼片产生升力为零。由于平行分速度产生的阻力（I，II象限）指向转轴，III，IV象限由轴心指向翼尖，对转轴阻力矩为零，在计算旋翼阻力矩和理论驱动功率时也不必考虑。仅需要在分析整机平飞阻力时考虑。
翼片方位角：把翼片与某固定参考方向夹角q称为其方位角。这里把在水平面与Vo垂直方向作为参考方向，以反时针方向转动角作方位角。
根据上述设定，翼片每个距轴心r的元面积最终相对空气运动速度，由升力旋翼转动线速度wr与平动速度Vo矢量合成后，分解为与翼展垂直方向（沿翼弦方向）及与翼展平行方两个分速度。已知旋翼元面积转动线速度wr始终与翼展垂直。而由于翼片旋转，Vo在与翼展垂直方向（沿翼弦方向）的分速度大小，等于VoCOSq，随翼片转动方位角q在不断变化。最终距轴心r的面积元最终相对空气运动速度与翼展垂直方向分速度为：wr+VoCOSq。
而与翼展平行方向分速度：VoSINq
与r无关，即整翼片相同。见图1。
翼片面积元对r求积分：在翼片处于任何方位角位置，翼片的总升力由r从0到R所有bxdr面积元产生的升力
dL=0.5dCl(wr+VoCOSq)^2bdr
对r求积分得出。
翼片的产生的总阻力转矩，由r从0到R所有元面积产生的阻力矩（元阻力乘r）
dN=0.5d(Cdd+Cdi)(wr+VoCOSq)^2 brdr
对r求积分得出。
对圆周求平均：
匀角速度转动的升力旋翼，方位角q
由0到2pi连续匀速变化，翼片任意某元面积最终相对空气运动速度与翼展垂直方向分速度都在周期性变化（COSq由1，0，-1，0，1），对任意某方位角q，对r由0到R积分所得升力旋翼某翼片瞬时总升力和总阻力矩也会与COSq相关。为得出该翼片最终平均效果，需要对圆周求平均，得出升力旋翼某翼片的圆周平均升力和平均阻力矩。
翼片面积元垂直分速度负值区域：由于翼片面积元的垂直分速度wr+VoCOSq中，旋转线速度分量wr随元面积至轴心距离r正比，而平飞速度垂直分量与方位角余弦正比，后者随方位角可正，可负。在翼片反时针转动一周4个象限（q由0，pi/2，pi，3pi/2，2pi）当中，I，IV象限VoCOSq为正；II，III象限为负。当wr<</span>绝对值（VoCOSq）时，处于II，III象限方位角某些瞬间翼片某些近轴面积元的垂直分速度（相对于旋转线速度方向）可能呈现负值。从上看下，旋翼转动圆面的II，III象限将出现一个直径由轴心起向左伸展的圆形区域，（图1），其直径取决于旋翼平飞速度系数k和R乘积（当k=1，该圆面直径为R）。转到在此区域的翼片面积元的垂直分速度（与正常旋转线速度方向相比）呈现负值。见图1。
图1：旋翼旋转平面方位角，各象限及对应（k=1，0.8，0.5，0.2）面积元垂直分速度负值区示意图
图中只画出成对角位（q，q+pi）的两翼片。k值大的区域包含k值小的区域，颜色只表示出大小圆区域差别部分。
垂直分速度呈现负值物理含义：该部分翼片所面对的垂直气流不是从翼片前沿到后沿，而是相反，翼片的迎角也由正变负了。此时，固定翼理论的采用的正向升力，阻力系数不再适用。可以预计，反向翼片的升力系数会减小（升力方向依旧向上），阻力系数会增加（阻力矩方向与轴旋转方向一致）。这些近轴面积元的垂直分速度呈现负值的物理效果是，使得旋翼总升力减小，而尽管该局部阻力系数增加，由于该局部阻力矩方向与转动方向一致，导致旋翼总阻力矩也会减小。
负垂直速度翼片部分的存在解释旋翼机无驱动旋翼被转动
呈现负垂直速度翼片部分的阻力对整个转动旋翼的力矩，不再是转动阻力力矩，而变为助推力扭矩。这一现象，能帮助我们理解无动力旋翼机靠水平驱动平飞过程中，旋翼能被动旋转的机理。后者在起飞加速中，旋翼转速w较小，k可大于1，旋翼旋转面中负垂直速度区域占比较大，正是靠着这个区域翼片所受推力扭矩维持无动力旋翼靠水平驱动平飞过程的旋转动力。
需要有关实验测量反方向/负迎角情况该翼型的有关升力系数，阻力系数
为了得出动力升力旋翼平飞有关数据准确计算结果，在相应积分计算程序中，需要在通过有关实验测量得到反方向/负迎角情况该翼型的有关升力系数，阻力系数后，借助计算机编程，加入相关条件选择限制，对相应元面积采用该特殊数据，最终用计算机数值计算出旋翼整体升力，阻力矩等。目前，如同18年文章旋翼悬停状态的简化积分结果（略去翼片根半径ro平方，立方项）的升力，阻力矩计算公式，无法得到。
本文对垂直分速度负值区域的简化处理
为了粗略估算旋翼平飞的相关数据，本文提出下述假设或简化方法。假定旋翼平飞速度系数k<<1，上述负速度近轴元面积占翼片旋转面比例很小，考虑升力和阻力都正比于垂直分速度平方，近轴部分翼片（相应垂直分速度较小）产生升力，阻力矩对整体旋翼贡献较小。作为粗略（偏高估）近似，在没有反方向/负迎角情况升力阻力系数数据情况下，忽略负速度区域的存在，一律采用正常升力阻力系数，可推导出旋翼平飞的简化积分（略去翼片根半径ro平方，立方项）升力，阻力矩近似计算的解析表达公式（升力偏大，阻力矩偏小）。当k=0即Vo=0，所得公式应与18年文章结果一致。
简化结果推导
首先分别计算（1片）翼片在任意方位角（q在I，IV象限和II，III象限）各物理量瞬时值的对半径的积分结果
。略去翼根半径ro
（ro<<R）的平方或立方项。假定旋翼平飞速度系数k<<1。
式中：L
升力（牛顿），d空气密度1.22（千克/立米），Cl
翼型在工作迎角升力系数，w 旋翼角速度（
弧度/秒），S
单翼片面积，近似S=Rb（平米），R，ro翼片外径和根径（米），NJ
翼片阻力扭矩 （牛顿米）。
Cdd翼型在工作迎角的直接阻力系数，Cdi诱导阻力系数。N
翼片理论驱动功率 （瓦）。
升力随翼片方位角q变化规律
假定升力旋翼旋转角速度w不变，以速度Vo平飞的升力旋翼产生升力将随翼片方位角q不断变化，瞬时值为：
L（q）=0.5dClS[(wR)^2/3
+(VoCOSq)^2+wRVoCOSq]
（牛顿）
---(1)
注：I，IV象限，式中COSq为正值；II，III象限，式中COSq为负值，可见同方位角（COSq绝对值相等）翼片在I，IV象限比II，III象限升力大，最大最小升力差值（q=0，与q=pi）为
dClS wRVo（牛顿），
引入k=Vo/(wR)，最大差值（方位角0，pi）为
dClSk( wR)^2（牛顿）。
升力对角平均随翼片方位角q变化规律
成对翼片（方位角q，q+pi）一定处于方位角对立的像限，COSq数值正/负绝对值相等，正好相互补偿。可以求出相对翼片平均瞬时升力
L（q，q+pi均值）=0.5dClS[(wR)^2/3
+(VoCOSq)^2] （牛顿）
---(2)
作图表明，该均值随方位角变化幅度，大幅减小，变化周期也减半（由0—2pi变为0—pi）。
升力圆周平均
把对角平均结果对q在一个象限内从0到pi/2积分，除以象限占角度pi/2即得圆周平均值：
L（圆周均值）=0.5dClS[(wR)^2/3
+Vo^2/2]
（牛顿）
---(3)
注：按积分公式
积分COS^2qdq=1/2[q+1/2SIN(2q)] +C
积分范围：q
从0 到pi/2
，COS^2q定积分结果为pi/4 。
引入k，代入得：L（圆周均值）=0.5dClS(wR)^2[1/3+k^2/2]
（牛顿）
---(3a)
圆周方位角导致瞬时升力最大相对偏差（方位角0，pi）为：2
k/[1/3+k^2/2]
当Vo=0，k=0，在水平速度为零情况，各方位角升力相同，差值为0，
旋翼升力：
L=0.5dClS (wR)^2/3
（牛顿）,
（此处翼片数1）乘总翼片数后与以前文结果一致。
平飞旋翼平均升力相对（0水平速度旋翼升力）增加率：
3k^2/2。
阻力扭矩随翼片方位角q变化规律
假定升力旋翼旋转角速度w不变，以速度Vo平飞的升力旋翼产生阻力矩将随翼片方位角q不断变化，瞬时值为：
NJ（q）=0.5d(Cdd+Cdi)S[(wR)^2R/4+(VoCOSq)^2R/2+2(wR^2VoCOSq)/3]
(牛顿米)
---(4)
注：I，IV象限，式中COSq为正值；II，III象限，式中COSq为负值，可见同方位角（COSq绝对值相等）翼片在I，IV象限比II，III象限阻力矩大，最大最小阻力矩差值（方位角q=0，与q=pi）为
2d(Cdd+Cdi)S
wR^2Vo/3（牛顿米），
引入k=Vo/(wR)，最大差值（0，pi）为
2d(Cdd+ i)Sk( wR)^2R/3（牛顿米）。
阻力矩对角平均随翼片方位角q变化规律
成对翼片（方位角q，q+pi）一定处于方位角对立的像限，COSq数值正/负绝对值相等，可以求出相对翼片平均瞬时阻力矩：
NJ（q，q+pi均值）=0.5d(Cdd+Cdi)S[(wR)^2R/4+(VoCOSq)^2R/2]
(牛顿米)
---(5)
阻力矩圆周平均
把对角平均结果在一个象限内对q从0到pi/2积分，除以象限占角度pi/2即得圆周平均值：
NJ（圆周均值）=0.5d(Cdd+Cdi)S[(wR)^2R/4+Vo^2R/4]
(牛顿米)
---(6)
积分范围：q
从0 到pi/2
，COS^2q定积分结果为pi/4 。
设Vo=kwR，代入得：NJ（圆周均值）=0.5d(Cdd+Cdi)S
(wR)^2R[1+k^2]/4
(牛顿米) ---(6a)
圆周方位角导致瞬时阻力矩最大相对偏差（方位角0，pi）为：16
k/[3（1+k^2）]
当Vo=0，k=0，在水平速度为零情况
旋翼阻力矩：
NJ=0.5d(Cdd+Cdi)S
(wR)^2R/4(牛顿米),
（此处翼片数1）乘总翼片数后与以前文结果一致。
平飞旋翼平均阻力矩相对（0水平速度旋翼升力）增加率
k^2。
理论驱动功率随翼片方位角q变化规律
假定升力旋翼旋转角速度w不变，以速度Vo平飞的升力旋翼的理论驱动功率将随翼片方位角q不断变化，瞬时值为：
N（q）=0.5d(Cdd+Cdi)S[(wR)^3/4+(VoCOSq)^2wR/2+2(wR)^2VoCOSq/3]
(瓦)
---(7)
注：I，IV象限，式中COSq为正值；II，III象限，式中COSq为负值，可见同方位角（COSq绝对值相等）翼片在I，IV象限比II，III象限需所驱动功率大，最大最小功率差值（方位角q=0，与q=pi）差值为：
2d(Cdd+Cdi)S
(wR)^2Vo/3（瓦）。
引入k=Vo/(wR)，最大差值为 2d(Cdd+Cdi)Sk(
wR)^3/3（瓦）。
驱动功率对角平均随翼片方位角q变化规律
成对翼片（方位角q，q+pi）一定处于方位角对立的像限，COSq数值正/负绝对值相等，可以求出相对翼片平均瞬时功率：
N（q，q+pi均值）=0.5d(Cdd+Cdi)S[(wR)^3/4+(VoCOSq)^2wR/2]
(瓦)
---(8)
驱动功率圆周平均
把对角平均结果在一个象限内对q从0到pi/2积分，除以象限占角度pi/2即得圆周平均值：
N（圆周均值）=0.5d(Cdd+Cdi)S[(wR)^3+Vo^2wR]/4
(瓦)
---(9)
积分范围：q 从0 到pi/2
，COS^2q定积分结果为pi/4 。
引入k=Vo/(wR)，得：N（圆周均值）=0.5d(Cdd+Cdi)S
(wR)^3[1+k^2]/4
(瓦) ---(9a)
圆周方位角导致瞬时功率最大相对偏差（0，pi）为：16
k/[3（1+k^2）]
当Vo=0，k=0，在水平速度为零情况
旋翼理论功率。
N=0.5d(Cdd+Cdi)S
(wR)^3/4 (瓦),
（此处翼片数1）乘总翼片数后与以前文章结果一致。
平飞旋翼平均功率相对（0水平速度旋翼升力）增加率
k^2。
升力功率比(圆周平均比)
把圆周平均的升力除以理论驱动功率圆周平均值，得旋翼平飞升功比hx，注意其结果算式与翼片数无关：
圆周平均hx= 0.5dClS[(wR)^2/3 +Vo^2/2]/
{0.5d(Cdd+Cdi)S[(wR)^3/4+Vo^2wR/4]}
引入翼片升阻比：hy=Cl/（Cdd+Cdi），由翼型，迎角，展弦比决定。
代入简化得
hx=
hy[(wR)^2/3 +Vo^2/2]4/ [(wR)^3+Vo^2wR]
（牛顿/瓦）
---(10)
引入k=Vo/(wR)， 得
hx=hy(1/3+k^2/2)4/[(wR)(1+k^2)]
（牛顿/瓦）
---(10a)
当Vo=0，k=0，在水平速度为零情况
旋翼升功比hx=hy4/(3wR),
与以前文章结果一致。
小结
1.
水平速度Vo的存在，使得升力旋翼与空气作用不再是均匀连续恒定。采用运动速度分解合成方法，本文按固定翼飞行理论，按垂直分速度对翼片作用计算出该个面积元产生的升力和阻力。暂认定与翼展平行分速度对翼片产生升力为零。由于平行分速度产生的阻力（I，II象限）指向转轴，III，IV象限由轴心指向翼尖，对转轴阻力矩为零，在计算旋翼阻力矩和理论驱动功率时也不予考虑。作为粗略（对升力偏高估计）近似，在没有反方向/负迎角情况升力阻力系数数据情况下，k<<1，忽略负速度区域的存在，一律采用正常升力阻力系数，可获得各物理量最后对翼片半径积分的解析表达结果。当k=0，Vo=0，各公式结果与以前文章公式结果一致。
2.
结果表明，所有作用量随着翼片旋转相对于水平速度方向方位角变化呈现周期性变化。随着旋翼平飞速度系数k=Vo/
(wR)
值增大，同样旋翼尺寸形状（翼型，迎角，展弦比）和旋转速度的升力旋翼，升力，阻力矩，功率的圆周平均值，都随着k值增加而增加。表明：水平速度的存在，使得同一转速旋翼获得更大升力。平均阻力矩，平均功率也都随k值增大而增加，相对增加率在k^2水平。
3.
而上述物理量的瞬时值随方位角周期变化幅度，更随k值增加而大幅增加，相对增加率在k水平。经对角平均后，上述物理量的瞬时值随方位角周期变化幅度则小得多，相对增加率在k^2水平。
4.
旋翼升功比随k值变化，不如升力，阻力矩相应变化规律直接明显，值得进一步研究。
后续（下）篇，将引入具体参数，把典型计算结果以曲线图示，进一步给予说明和讨论。
（待续）。
05/29/2020发表
