《用最小公倍数解决问题》教学纪实
2016-12-25 19:04阅读：
《解决问题》教学纪实
哈尔滨医科大学附属逸夫学校
于鸿儒
一、教学目标：
1.
能在具体生活情境中学会提炼数学信息、处理信息，并能应用公倍数和最小公倍数的知识解决生活中的实际问题。
2.
通过摆一摆、拼一拼，画一画，算一算的方法，经历解决问题的全过程，提高问题解决的能力。
3.
在知识的应用过程中，培养观察、归纳、总结的能力，运用转化的数学思想解决生活中的问题。
二、教学重点：
能在具体生活情境中学会提炼数学信息、处理信息，并能应用公倍数和最小公倍数的知识解决生活中的实际问题。
三、教学难点：
在知识的应用过程中，培养观察、归纳、总结的能力，运用转化的数学思想解决生活中的问题。
四、教学流程：
（一）创设情境、激发兴趣
师：上一周我们学校组织了一次创意大赛，我们班一位同学设计的水果密码锁获得了一等奖。（课件演示）密码锁是由这样两个多边形组成的水果图案，一个是正五边形，一个是正方形也是正四边形。两个图案沿着边进行转动，当图案又重新完整拼回时，边转动的次数就是密码。你能快速猜猜密码是多少呢？
预设：
生1：
5
生2: 4
生3: 20……
师：那好吧，大家一起帮我数一数。
（老师课件演示，学生数。结果学生发现猜测似乎和实际不一样。）
【设计意图：从游戏入手，一下子就激发学生学习的兴趣。又由于猜测的结果和想象的不太一样，使得学生想探究的欲望更加浓烈，因此，很快便投入到学习活动中来。】
（二）自主合作、探究新知
师:看来这个问题又不是想当然的那么简单，所以我们就要进行研究，到底该怎么研究呢？你们觉得用什么方法研究比较好呢？
预设：动手转一转。
师：是啊，多好的办法啊，实践出真知，只有亲自动手实践得出的结论更有意义，更有价值，我们的印象才会更深刻。
接下来，我们就在小组内亲自动手摆一摆，转一转老师为你准备的学具，数一数转了多少次之后，图案又完整的拼合了。首先我们先来看看操作要求。
操作要求：（课件出示）
1.
小组动手操作，旋转图片，发现规律。（每组图片的形状各不相同）
2.
全班汇报。
生1：我们组转了12次，图案就又完整了。
生2：我们组转了8次，图案就又完整了。
生3：我们组转了20次，图案就又完整了。
生4：我们组转了8次，图案就又完整了……
师：为什么转动这些次数？转动的次数和谁有关？
生：和两个图形的边数有关。
师：这组同学能找到问题的关键进行研究，聪明！其实这个过程就是提炼数学信息的过程。
师：什么规律呢？你能用自己组的例子说出你的发现吗？
生：我们组是正方形和正六边形，边数分别是4和6，它们的最小公倍数是12，所以转了12次，图案就又完整了。
师：说得好，有根有据，有条有理。谁来继续汇报。（学生边汇报，教师边板书）
生：我们组是正方形和正五边形，边数分别是4和5，它们的最小公倍数是20，所以转了20次，图案就又完整了。
生：我们组是两个八边形，边数分别是8和8，它们的最小公倍数是8，所以转了8次，图案就又完整了。
师：转动20次的小组，正方形转了几圈呢？五边形转了几圈？是怎么算的呢？
生：正方形转了5圈，20除以4等于5.五边形转了4圈，20除以5等于4.
师：那正方形和正八边形这一组，分别都转了多少圈呢？
生：分别转了2圈和1圈。
师：真是非常有价值，你们的发现都一样吗？
生：一样！
生：老师，我还发现，当其中一个图形不动，另一个图形绕着它转动时，正好也是转动两个图形的公倍数就可以重合。例如：正方形和正五边形，正方形不动，正五边形绕着正方形转动，正好转20次，图形重合，正五边形正好转了4圈。
师：你的发现令人惊叹。那如果正五边形不动，正方形绕着正五边形转动呢？
生：也是20次，正方形转动5圈重合。
师：看来，无论是两个图形同时转动，还是某一个图形绕着另一个图形转动，结果都是一样的，是吧？
师：那我们能不能把这个规律，用语言概括总结一下呢？
生：我发现这两个图形的边数的最小公倍数是几就转几次，图案就能完整拼合起来。
师：接下来问题来了，为什么转动的次数是两个图形边数的最小公倍数图案就完整了，为什么不是其它的次数呢？
生：因为图案要想完整的拼合，必须要转动整圈数，也就是五边形一圈需要转动5次
，四边形一圈需要转动4次。那么想同时转回来就需要的是5和4的公倍数。
师：语言准确，精炼。具有数学家的潜质啊！我们发现，当我们遇到实际问题时，可以先从中找到相关的数学信息，然后把它们转化成相应的数学问题，再进行归纳、整理，结论就显而易见了！
师：现在你能快速告诉我，一个7边形和4边形组成的图案，需要转动几次呢？八边形和五边形呢？
师：我们都是再求这一组数据的最小公倍数。（板书：贴在上面）
小结：看来，一个科学道理、科学规律的产生并不是凭空而来的。最小公倍数的知识是我们学过的，但是我们很难想象这个事情和最小公倍数有关系。可是一旦联系起来了，就会觉得原来学习最小公倍数是这么的有趣。
其实，我们就是在解决实际问题的过程中把它转化成了已知的数学问题，问题是不是就迎刃而解了呢？（板书：实际问题——（转化）——数学问题）看来，找到学习的方法，比找到一个结论更为重要！
【设计意图：
让学生通过动手操作、经历解决问题的全过程，兴趣盎然的同时，不断提高解决问题的能力。在观察分析，总结归纳中培养学生的数学思维能力。】
（三）联系实际，综合运用
我们学校的阅览室还差墙面的装饰没有完成，学校想用长是30厘米，宽是20厘米米的墙砖在墙面上进行装饰，于是向大家征集方案，请问，如果用这种墙砖铺成一个正方形（用的砖必须都是整块的），这个想法能否实现？能铺成边长是多少厘米的正方形呢？
1.独立思考，我们可以怎么解决这个问题呢？你有什么好方法吗？
生1：我们可以动手摆一摆。
师：我不能把墙砖拿来给大家摆一摆啊。
生：你可以让我们摆学具啊。
师：是啊，学以致用，我们刚刚说过实践是一个好方法。可是我一想啊，这样子准备学具太多了，还要带过来太麻烦。于是我就偷了个懒，没做学具。你们帮我想想还有没有别的好办法了？
生2：可以画图。
师：好方法，可是我怎么画呢？我能把长是30厘米，宽是20厘米的墙砖画到本子上吗？
生：可以缩小了画。
师：怎么缩小呢？
生：可以画一个长3厘米，宽2厘米的长方形。
师：你的提议太好了，既解决了本子上画不下的问题，又使解决问题变得容易了。
师：还可以怎么画呢？
生：还可以画个草图，标上数字就行了。
师：是啊，这个方法真妙！你与我不谋而合。草图画起来省时，能提高解题的效率。你真是为同学们提了个好建议。
生3：可以算一算。
师：看来我们班的同学不仅会思考，有想法，而且还有方法，你们真令我佩服！
3.小组内画一画，说一说有什么发现。
生：能拼成正方形，我们拼的正方形边长是60厘米。
师：为什么是60呢？
生：因为正方形的边长相等，所以要拼成正方形，它的边长必须既是20的倍数，又是30的倍数。也就是他们的公倍数。所以是60厘米。
师：真好，还有不同的结论吗？
生：我觉得可以拼成边长是120厘米的正方形。
师：理由呢？
生：因为120也是20和30的公倍数。所以可以拼成边长是120厘米的正方形。
师：还有不同答案吗?
生：还可以拼成180，240,300,360…….
师：有多少种拼法呢？
生：无数种。因为两个数的公倍数的个数是无限的。（板书：公倍数）
师：看来大家之前的知识掌握的还真是很牢固啊。难道就没有质疑的声音吗？
生：我觉得不能有无数种，因为墙面的大小是有限的，不可能装饰的面积大于墙的面积。
师：你的思维缜密又周全。感谢你的发言，给同学们开启了另一扇思维的天窗。
生：我觉得还不能随便选择一个铺。因为还要考虑作为装饰是否美观的问题。
师：是啊，看看，当我们面临生活中的实际问题时，既要用数学的思维去解决，还要结合实际情况灵活处理。活学活用，才是智慧的表现。
【设计意图：联系生活实际，让学生感受到数学与生活的密切联系。同时又是在动手操作中培养学生的数学思维，能总结出解决这类的问题就是要将实际的问题转化成数学问题。】
（四）巩固训练、应用提升
课件：
1.
小刚和小明决定每天跳绳来锻炼身体，小刚每跳3分钟休息一分钟，小
明每跳4分钟休息一分钟，两个人什么时间同时休息？第二次同时跳是什么时间？
预设：
生：12分钟，3和4的最小公倍数是12.
生：不对，需要休息一分钟，所以小刚是第4分钟休息，小明是第5分钟休息，他们两个人同时休息，应该是4和5的最小公倍数，应该是第20分钟两个人同时休息。
师：这样分析有道理吗？那么第二次同时跳是什么时间呢？
生：第21分钟。
2.五月份我们学校就要召开春季运动会了，于是我们班的丽丽每天都和爸爸妈妈
跑步锻炼身体，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟，丽丽跑一圈用6分钟。你能提出有关于公倍数和最小公倍数的问题并解答吗？
【培养学生发现问题，提出问题的能力。】
小结：这节课，我们是运用了公倍数和最小公倍数的知识解决生活中实际的问题。在解决问题的过程中，我们要先提炼出相关的数学信息，然后再头脑中进行加工处理，分析判断，最重要的是找到解决问题的方法，也就是——把实际问题转化成数学问题。最后我们再把它应用到实际问题中去。同学们，是这样吗？
其实，这节课我们运用的公倍数和最小公倍数的知识，只不过是数学知识浩瀚宇宙里的一颗小星星，在今后的学习中，我们可以继续用更多的数学知识来解决生活中的问题！（边说边板书）
【设计意图：练习设计是逐步提升，循序渐进的，要学会变相思维，多角度的考虑问题。主要是锻炼学生的思维，使学生得到发现问题，提出问题的锻炼，培养学生综合解决问题的能力。】
（五）数学文化
其实在古代文明中，希腊与中国等国家或地区都有各自对最小公倍数的认识。古希腊欧几里得在《几何原本》中提出了最小公倍数概念，中国北魏张邱建在《张邱建算经》中阐述了最小公倍数与最大公约数关系，印度的马哈维拉与日本的关孝和也在后来给出对最小公倍数的理解。
金字塔内的象形文字—2520
提起神秘的金字塔，人们联想到的则是古埃及的灿烂文明，人面狮身的庄严，雄伟修院的神圣，包罗万象的奥秘等等，这些令人叹为观止的景象吸引着世界各地的人们前来观光旅游，而对其中的数学家来说，他们真正感兴趣的则是金字塔中的一些象形文字，这些由考古学家在一座金字塔墓碑上发掘出来的象形文字,其中蕴含的数学含义令数学家赞叹不已。
金字塔内引人注目的象形文字，在1822年由弗朗索瓦·高柏良破译得出，原来它们表示的是一个数——2520。数学家经过各种研究和发现，慢慢揭开覆盖在2520头上的面纱，原来2520是自然数1——10的最小公倍数，借此还原了它的奇特面貌。
结束语：看来，数学与生活的关系是密不可分的，希望大家徜徉在数学的王国里，尽情感受数学独特的魅力吧！
（六）板书设计：
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公倍数
运用
最小公倍数
解 决 问
题
……
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