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101讲义  第三讲  同余

2015-04-27 12:34阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2165634987

第三讲 同余
【核心观点】
同余，顾名思义，就是余数相同．最先引入同余的概念与记号的是数学王子高斯．
【定义】
定义1 给定一个非零自然数m，如果用m去除两个整数a，b所得的余数相同，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m，或读作a 与b关于模m同余．
定义2 若a与b是两个非零自然，并且它们的差a-
b能被一个非零自然数m整除，那么，就称a与b对于模m同余．
【性质】
定理1（1）a≡a(mod m)．
　 （2）若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)．
　　 （3）若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)．
定理2（1）若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)．
（2）若a≡b(modm)，k是自然数，n是自然数，
则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，an≡bn(modm)．
定理3若n≥2，a≡b(mod m1)，a≡b(mod m2)，…………a≡b(mod mn)，
　　 且M=[m1，m2，…，mn]表示m1，m2，…，mn的最小公倍数，则a≡b(mod M)．
应用同余的性质可简捷地处理一些整除问题．若要证明m整除a，只需证a≡0(mod m)．

【典型问题】
【问题1】（1）64325-1除以63所得的余数是 ．
【解析】


（2）设2201除以7所得的余数为 ．
【解析】



（3）乘积418×814×1616除以13所得的余数为 ．
【解析】



（4）a除以5余1，b除以5余4，且3a＞b，则3a-b除以5的余数为 ．
【解析】



（5）设x=1×1990+2×1990+3×1990+…+1990×1990，那么x被9除的余数是 ．
【解析】


【问题2】11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？
【解析】



【问题3】求证：101999+231999是11的倍数。
【解析】



【问题4】求2424，6363的个位数字.
【解析】



【问题5】一盒棋子，4个4个数多1个，6个6个数多1个，15个15个数多1个，这盒棋子数在150~200之间，问这盒棋子有多少个？
【解析】



【问题6】一盒棋子，4个4个数多3个，6个6个数多5个，15

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