第四讲 完全平方数和不定方程
2015-04-27 12:35阅读：
第四讲
完全平方数和不定方程
【核心观点】
【定义】完全平方数：
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
【性质】
⑴完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.
⑵奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数.
证明：奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7,
10a+9
分别平方后，得
(10a+1)2=100
a2+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)
2=100
a2+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)
2=100
a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5
(10a+7)
2=100
a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9
(10a+9)
2=100 a2
+180a+81=20 (5
a2+9a+4)+1
综上：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数.
⑶如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.
【推论】
①如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数.
②如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数.
⑷偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1.
⑸奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型.
⑹平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1.
(因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,
3m+2。平方后，分别得
(3m) 2=9
m2=3k
(3m+1) 2=
9m2+6m+1=3k+1
(3m+2) 2=9
m2+12m+4=3k+1)
⑺不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型.
⑻平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9.
⑼在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.
⑽一个非零自然数n是完全平方数当且仅当n有奇数个因子(包括1和n本身).
【重要结论】
⑴个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
⑵个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
⑶个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
⑷形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
⑸形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
⑹形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
⑺形如8n+2,
8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数.
【不定方程】形如
的方程叫做二元一次不定方程，当，且的一组整数解为，那么
为任意整数）是不定方程的全部整数解.
【典型问题】
【问题1】把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（
）位数字.
【解析】
【问题2】46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（
）.
【解析】
【问题3】将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，……，100．现有100个人去拉开关，
第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到
第100个人将100号灯泡拉一下．假定开始时，灯泡全不亮，试问：这100个人全拉完后，
哪些编号的灯泡是亮的？
【解析】
【问题4】一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
【解析】
【问题5】用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
【解析】
【问题6】甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
【解析】
【问题7】n减58是完全平方数，n加
