【安富莱DSP教程】第24章快速傅里叶变换原理（FFT）

2015-04-07 12:11阅读：

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第24章快速傅里叶变换原理（FFT）

在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT)，以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征，但是算法计算量大，耗时长，不利于计算机实时对信号进行处理。因此至DFT被发现以来，在很长的一段时间内都不能被应用到实际的工程项目中，直到一种快速的离散傅立叶计算方法——FFT，被发现，离散是傅立叶变换才在实际的工程中得到广泛应用。需要强调的是，FFT并不是一种新的频域特征获取方式，而是DFT的一种快速实现算法。
特别声明：FFT原理的讲解来自网络和书籍。
24.1 FFT由来
24.3 直接计算DFT的问题及改进路径
24.3 改善DFT运算效率的基本途径
24.4 按时间抽选的基2-FFT算法
24.5 按频率抽选的基2-FFT算法
24.6 总结

24.1 FFT的由来

离散傅里叶变换

（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理最重要的基石之一，也是对信号进行分析和处理时最常用的工具之一。在200多年前法国数学家、物理学家傅里叶提出后来以他名字命名的傅里叶级数之后，用DFT这个工具来分析信号就已经为人们所知。历史上最伟大的数学家之一。
欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = f(x)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。给出了一个用实变量函数表示傅立叶级数系数的方程；用三角级数来描述离散声音在弹性媒介中传播，发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。但在很长时间内，这种分析方法并没有引起更多的重视，最主要的原因在于这种方法运算量比较大。直到1965年，Cooley和Tukey在《计算机科学》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文，FFT才开始大规模应用。
那个年代，有个肯尼迪总统科学咨询委员会。其中有项研究主题是，对苏联核测试进行检测，Tukey就是其中一员。美国/苏联核测试提案的批准，主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测的方法的发展。其中一个想法是，分析离海岸的地震计情况，这种计算需要快速算法来计算DFT。其它应用是国家安全，如用声学探测远距离的核潜艇。所以在军事上，迫切需要一种快速的傅立叶变换算法，这也促进了FFT的正式提出。
FFT的这种方法充分利用了DFT运算中的对称性和周期性，从而将DFT运算量从N2减少到N*log2N。当N比较小时，FFT优势并不明显。但当N大于32开始，点数越大，FFT对运算量的改善越明显。比如当N为1024时，FFT的运算效率比DFT提高了100倍。在库利和图基提出的FFT算法中，其基本原理是先将一个N点时域序列的DFT分解为N个1点序列的DFT，然后将这样计算出来的N个1点序列DFT的结果进行组合，得到最初的N点时域序列的DFT值。实际上，这种基本的思想很早就由德国伟大的数学家高斯提出过，在某种情况下，天文学计算（也是现在FFT应用的领域之一）与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。由于当时计算都是靠手工，所以产生一种快速算法的迫切需要。而且，更少的计算量同时也代表着错误的机会更少，正确性更高。高斯发现，一个富氏级数有宽度N=N1*N2，可以分成几个部分。计算N2子样本DFT的N1长度和N1子样本DFT的N2长度。只是由于当时尚欠东风——计算机还没发明。在20世纪60年代，伴随着计算机的发展和成熟，库利和图基的成果掀起了数字信号处理的革命，因而FFT发明者的桂冠才落在他们头上。
之后，桑德（G.Sand）-图基等快速算法相继出现，几经改进，很快形成了一套高效运算方法，这就是现在的快速傅立叶变换（FFT）。这种算法使DFT的运算效率提高1到2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件，大大推进了数学信号处理技术。1984年，法国的杜哈梅（P.Dohamel）和霍尔曼（H.Hollamann）提出的分裂基块快速算法，使运算效率进一步提高。
库利和图基的FFT算法的最基本运算为蝶形运算，每个蝶形运算包括两个输入点，因而也称为基-2算法。在这之后，又有一些新的算法，进一步提高了FFT的运算效率，比如基-4算法，分裂基算法等。这些新算法对FFT运算效率的提高一般在50%以内，远远不如FFT对DFT运算的提高幅度。从这个意义上说，FFT算法是里程碑式的。可以说，正是计算机技术的发展和FFT的出现，才使得数字信号处理迎来了一个崭新的时代。除了运算效率的大幅度提高外，FFT还大大降低了DFT运算带来的累计量化误差，这点常为人们所忽略。

24.2 直接计算DFT的问题及改进路径

24.2.1 问题的提出

设有限长序列x(n)，非零值长度为N，若对x(n)进行一次DFT运行，共需要多大的运算工作量。

24.2.2 DFT的运算量

DFT和IDFT的变换式：

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注意：
1. x(n)为复数，

也为复数。
2. DFT与IDFT的计算量相当。
下面以DFT为例说明计算量：
计算机运算时（编程实现）：

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由上面的结算可得DFT的计算量如下：

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下面通过两个实例来说明计算量：复数乘法的计算量：(a+jb)(c+jd)=(ab-bd)+j(bc+ad)

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例一：计算一个N点DFT，共需次复乘。以做一次复乘1计算，若N=4096，所需时间为

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