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半角模型

2020-05-25 13:24阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2737942694

【中考数学专题】三大变换之旋转（半角模型）
半角模型是全等三角形中一种常见模型，如果说三垂直偏方法，手拉手半题型半方法，那么半角模型就是彻彻底底的一种题型，本文将介绍常见的半角模型结论.常见的半角模型可以分为“90°+45°”和“120°+60°”两种，其中“90°+45°”居多，而表现形式通常是在正方形中．
01
半角模型—90°+45°
两个基本结论其一
如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°连接EF．
半角模型
结论1：EF=BE+DF．
证明：延长CD至点G使得DG=BE【截长】
半角模型
易证：ABEADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45°
易证：AFEAFG（SAS）→
EF=GF
综上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．

【变式】若E、F分别在CB、DC延长线上时，结论变为：EF=DF-BE．
半角模型
证明：在DC上取点G使得DG=BE【补短】
半角模型
易证：ABEADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45°
易证：AEFAGF（SAS）→ EF=GF
综上：EF=GF=DF-DG=DF-BE
【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角．此处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补．正方形可满足一切你所想．

两个基本结论其二
结论2：连接AD，与AE、AF分别交于M、N，
则：MN²=BM²+DN²．
半角模型
证明：构造ADM’ABM → AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’
半角模型
易证：AMNAM’N（SAS）→ MN=M’N
易证：M’DN是直角三角形→M'N²=M'D²+DN²→MN²=BM²+DN²．
除了以上两个常用结论外，在这个图形还有一些其他有趣的结论．
结论3
若BE=1/3BC，则点F是CD边中点．反之亦然．
半角模型
结论4
过点A作AH⊥EF交EF于H点，则ABEAHE，AHFADF．
另外还可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE．
半角模型
结论5
A、B、E、N四点共圆，A、D、F、M四点共圆．
证明：∠EAN=∠EBN=45°，∴A、B、E、N四点共圆．同理可证A、D、F、M四点共圆．
另外还可得：连接EN、MF，可得AEN、AMF是等腰直角三角形．
半角模型
结论6
M、N、F、E四点共圆．
证明：∠MEF=∠MFN，∴M、N、F、E四点共圆．
半角模型
结论7
AMNAFE．且相似比AF：AM=根号2．
由构图3可得∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE．可得AMNAFE．
半角模型
结论8
MANMDA，NAMNBA．
半角模型
结论9
连接AC，则AMBAFC，ANDAEC．且AF：AM=AC：AB=根号2．
半角模型
【小结】从结论5开始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作为题型出现，了解下图形的更多性质有时候能帮上大忙．在这里除了给的∠EAF=45°外，正方形对角线也会形成其他45°角，多组相等角总能撞出些火花．

【思考】对于以上9个结论，在正方形中，有哪些作为条件能推出∠EAF=45°的？

02
半角模型—120°+60°
半角模型—120°+60°
如图，ABC是等边三角形，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直线AB、AC上且∠EDF=60°
结论：EF=BE+CF
半角模型
证明：延长AC至点G使得CG=BE，
半角模型
易证：DBEDCG（SAS）→ DE=DG，∠FDG=∠FDE=60°
易证：DFEDFG（SAS）→ EF=GF
综上：EF=GF=GC+CF=BE+CF

【思考】若点F在AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系？

03
中考真题
2016徐州中考
半角模型
2017贺州中考
半角模型
2019随州中考
半角模型
2018遂宁中考
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