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2024年03月28日

2024-03-28 15:18阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2801378230

近似正7边形尺规作图法的数值验证及最终结论

一 尺规作图方法及基础点坐标的确定

1 先把任意长作为1份。用圆规在直线上连得7份。得的分点号为0、1、2、3、4、5、6、7(N)。
2 N作为坐标系原点，又是大圆的圆心，大圆半径R=7。
3 以3号4号的中点Q，作为小圆圆心，並以半径r=3.5作小圆。小圆圆心X轴上的Y都=3.5。
4 再作射线的左右起点A、B。A、 B是大圆
与小圆心X轴线的交点。
5 B为右侧的射线起点，其圆方程为 X2+Y2=R2，其中R=7、Y=3.5。则有X2+3.52=72，得X=6.0621778、Y=3.5。
6 A为左侧的射线起点，其圆方程为 X2+Y2=R2，其中R=7、Y=3.5。则有X2+3.52=72，得X= -6.0621778、Y=3.5。A是B的对称点。

作图至此，便得射线B1、B3、B5、B7、A1、A3、A5、A7上各点的坐标:

1 3 5 7(N) 小圆圆心Q B A
X 0 0 0 0 0 6.0621778 -6.0621778
Y 6 4 2 0 3.5 3.5 3.5



二 各射线方程的计算

多边形上的多个点，是用多个射线B1、B3、B5、…与小圆相交得到的。
例如B1射线与小圆相交得到C点。这时，待求点C(坐标为X、Y) 与已知点1(坐标为X1、Y1)、已知点B(坐标为XB、YB)位于同一直线，则有射线方程
(Y-YB)/(X-XB) = (Y1-YB)/(X1-XB) …(1)
等式后项(Y1-YB)/(X1-XB)=K，其实就是射线的斜率K。代入已知坐标值，得K=(Y1-YB)/(X1-XB)=(6-3.5)/(0-6.0621778)=2.5/(-6.0621778)=-0.41239305
所以 (1) 式成为 (Y-YB)/(X-XB)=K= -0.41239305 …(2)，展开为
(Y-3.5)/(X-6.0621778)= -0.41239305
(Y-3.5)= -0.41239305 *(X-6.0621778) 最后，
射线B1的方程为Y=6 -0.41239305 X
同理:
射线B3的方程为Y=4-0.082479 X
射线B5的方程为Y=2+0.2474358 X
射线B7的方程为Y=0.5773503 X
A与B是对称点，X正负相反而Y相等。所以射线A1、A3、A5、A7不必重算了。

三 内接多边形的小圆方程的计算

小圆心坐标X=0、Y=3.5，半径r=3.5，则
小圆方程 (X-0)2+(Y-3.5)2= r2 展开为
X2+Y2-7Y+12.25=12.25 → X2 -7Y+Y2=0 → Y=(7±√ (49-4X2))/2


四 在电子表格上解算射线与小圆的联立方程，得7边形各顶点坐标

内接多边形的各个顶点，是各条射线与小圆的交点，其坐标就是两者联立方程的解。
如，射线B1与小圆相交在C，要解联立方程
Y=6 -0.41239305 X … (B1射线方程)
Y=(7± √ (49-4X2))/2 … (小圆方程)
得 C点X=-1.548751 Y=6.6386894

解射线与小圆的联立方程很麻烦。我就在电子表格Excel上，用连续变动x的方法，求解两个Y。当两个Y相等时便录用。实际上取小数后6位相同就取平均值录用了。如C点的运算过程:

输入X 小圆Y=(7±√(49-4X2))/2 射线B1 Y=6 -0.41239305 X
-1.548750829 6.638689355 6.638689354
-1.548750830 6.638689355 6.638689355 *录用
-1.548750831 6.638689354 6.638689355
最后，C点坐标录用为 X = -1.548751 Y = 6.6386894。
其他点相仿。最后结果汇总于下表。

射线 与 小圆的交点 X Y 注
B1 与 C -1.548751 6.6386894 (详细计算见上)
B3 与 D -3.4116615 4.2813885
B5 与 E -2.739821 1.3220700
B7 与 N 0 0
A5 与 F 2.739821 1.3220700 (E的对称点)
A3 与 G 3.4116615 4.2813885 (D的对称点)
A1 与 H 1.548751 6.6386894 (C的对称点)

五 7边形各边边长S及相应的中心角β的计算

计算公式及计算方法示例:
1 多边形各边边长S，即相邻点弦长S=√[(X D-X C)2+(Y D -Y C)2]
如CD边S=√[ (-3.4116615 + 1.548751)2+(4.2813885-6.63868945)2 ]
S=3.0045479。
2 中心角β=ARC SIN(S/2/r) ，r=3.5。
如CDQ ， β=ARC SIN (3.0045479/7)*2 =ARC SIN (0.4292211)*2=
β=25.41814116 * 2 = 50.836282。
3 中心角β误差 = 实际角度 - 理论角度360/7。 最终结果如下表:

点 已知 X 已知 Y 相邻点弦长S 中心角β(度) 误差
C -1.548751 6.6386894 CD= 3.0045479 50.836282 -35分
D -3.4116615 4.2813885 DE= 3.034622 51.38199 - 3分
E -2.739821 1.3220700 EN= 3.0342129 51.518216 5分
N 0 0 NF= 3.0342129 51.518216 5分
F 2.739821 1.3220700 FG= 3.034622 51.38199 - 3分
G 3.4116615 4.2813885 GH= 3.0045479 50.836282 -35分
H 1.548751 6.6386894 HA= 3.097502 52.52704 66分
A -1.548751 6.6386894
正7边形理论值 S= 3.0371855 β=51.428571428… 全文完

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